多項式の割り算からf(x)の次数を求める方法

与えられた式は次のようになっています。

x^5 = (x^2 – 6x + 5)f(x) + px + q

ここでf(x)は未知の多項式で、p,qは定数です。この式からf(x)の次数を考えてみましょう。

多項式の割り算の考え方

左辺は5次式、右辺は(x^2 – 6x + 5)f(x) + px + qです。右辺の(x^2 – 6x + 5)f(x)の項が5次になる必要があります。なぜなら、右辺の最高次は左辺の最高次に一致しなければならないからです。

f(x)の次数を求める

x^2とf(x)の最高次項をかけて5次にするには、f(x)は3次式でなければなりません。具体的には、3次項 ax^3 を持つf(x)を(x^2)に掛けるとax^5となり、左辺の5次項と一致します。

まとめ

したがって、この式におけるf(x)は三次式であると結論できます。px + qのような定数項は、余りとして扱われる部分で、f(x)の次数には影響しません。