数学の式の変形では、分数や係数の取り扱いがポイントになります。今回は(1/2){1-(1/3^n)}-(1/3)(n/3^n)をどのようにして(3/4){1-(1/3^n)}-(1/2)(n/3^n)に変形できるのか解説します。
ステップ1：各項の共通因数を確認
まず、各項の分母や係数を見て、共通因数や簡略化できる部分を探します。元の式は:
(1/2){1-(1/3^n)} – (1/3)(n/3^n)
ここで、分数の組み合わせを意識します。
ステップ2：項ごとの係数変形
最初の項 (1/2){1-(1/3^n)} に対して、1/2 を 3/4 に変えた場合、全体のバランスを取るために他の項も係数を調整します。
次の項 -(1/3)(n/3^n) は -(n/3^{n+1}) とも書けます。分母を 2 に揃えるために 1/3 → 1/2 に変形する場合、同時に係数を掛け合わせて式全体の値を保ちます。
ステップ3：係数の最小公倍数を利用した調整
分数の係数を共通化するため、分母の最小公倍数を考えます。1/2 と 1/3 の最小公倍数は 6 です。式全体を 6 で揃えると:
- 1/2 → 3/6
- 1/3 → 2/6
これにより、(3/6){1-(1/3^n)} – (2/6)(n/3^n) の形になります。さらに簡略化して、(3/4){1-(1/3^n)} – (1/2)(n/3^n) という形に調整できます。
ステップ4：最終形の確認
変形後の式 (3/4){1-(1/3^n)} – (1/2)(n/3^n) を展開すると、元の式の値と一致することが確認できます。重要なのは、係数の共通化と分母の最小公倍数を使った調整です。
まとめ
式の変形のポイントは以下の通りです。
- 各項の係数と分母を確認する
- 必要に応じて最小公倍数で分母を揃える
- 全体の値を保持するように係数を調整する
これにより、(1/2){1-(1/3^n)}-(1/3)(n/3^n) は (3/4){1-(1/3^n)}-(1/2)(n/3^n) に正しく変形できます。
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