一次関数の値域から式を求める問題は、高校数学でよく出てきます。特に「a＜0」の条件があると、どちらが最大値・最小値になるのか混乱しやすいです。この記事では、関数 y＝ax+b（1≦x≦3）の値域が0≦y≦1で、a＜0のときのaとbの求め方を、図形的な考え方も交えてわかりやすく解説します。
問題の確認
問題は次の内容です。
「関数 y＝ax+b（1≦x≦3）の値域が0≦y≦1で、a＜0としたとき、aとbを求めよ」
まず重要なのは、a＜0なので右下がりの直線になるという点です。
つまり、xが大きくなるほどyは小さくなります。
a＜0のとき、どこで最大値・最小値になる？
一次関数は直線なので、区間の端で最大値・最小値を取ります。
今回は、
で、a＜0です。
右下がりなので、
- x＝1のとき → yが最大
- x＝3のとき → yが最小
になります。
値域が0≦y≦1なので、
- 最大値は1
- 最小値は0
です。
したがって、
x＝1 のとき y＝1
x＝3 のとき y＝0
となります。
x＝1とx＝3を代入して式を作る
まず、x＝1、y＝1を代入します。
次に、x＝3、y＝0を代入します。
この連立方程式を解きます。
2式−1式をすると、
よって、
これを、
に代入すると、
したがって、
答えは、
a＝−1/2、b＝3/2
です。
xに1と3を代入したのに合わなくなる理由
この問題で混乱しやすいのは、「x＝1のときy＝0」としてしまうケースです。
しかし、a＜0なのでグラフは右下がりになります。
つまり、左側のx＝1のほうがyは大きく、右側のx＝3のほうがyは小さくなるのです。
もし逆にしてしまうと、
- x＝1 → y＝0
- x＝3 → y＝1
となり、右上がりの直線になります。
この場合、a＞0になってしまい、条件の「a＜0」に反します。
グラフで考えると理解しやすい
この問題は、グラフを軽く描くと一気に分かりやすくなります。
値域が0≦y≦1なので、yは1から0へ下がります。
さらにa＜0なので、直線は右下がりです。
つまり、
左端（x＝1）でy＝1
右端（x＝3）でy＝0
と自然に決まります。
一次関数の問題では、増加するか減少するかを最初に確認することがとても大切です。
まとめ
関数 y＝ax+b（1≦x≦3）の値域が0≦y≦1で、a＜0のときは、右下がりの直線になります。
そのため、
- x＝1で最大値1
- x＝3で最小値0
となります。
これを代入すると、
a＝−1/2、b＝3/2
が求まります。
xに1と3を入れても答えが合わない場合は、「どちらが最大値か」を逆に考えていることが原因である場合が多いです。
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