（2x+1）²（2x-1）² のような式は、途中までは合っていても、最後の累乗計算で混乱しやすい問題です。
特に「二乗をどう広げるのか」「x²と2x²を混同してしまう」といったミスはとても多いです。
この記事では、式の変形を改行しながら、できるだけ読みやすく順番に解説します。
まずは公式を使って整理する
問題の式はこちらです。
（2x＋1）²（2x－1）²
この式は、
a²b²＝（ab）²
というルールが使えます。
なので、
＝｛（2x＋1）（2x－1）｝²
となります。
次に中を計算する
（2x＋1）（2x－1）は、
（a＋b）（a－b）＝a²－b²
の公式です。
ここでは、
- a＝2x
- b＝1
なので、
＝（2x）²－1²
＝4x²－1
となります。
したがって、元の式は、
＝（4x²－1）²
になります。
ここで二乗を広げる
ここが今回いちばん大事なポイントです。
（4x²－1）² は、
（a－b）²＝a²－2ab＋b²
を使います。
a＝4x²
b＝1
なので、
＝（4x²）²
－2×（4x²）×1
＋1²
それぞれ計算する
まず、
（4x²）²
＝16x⁴
になります。
次に、
－2×（4x²）×1
＝－8x²
最後に、
1²＝1
です。
全部まとめると、
16x⁴－8x²＋1
が答えになります。
なぜ「16x²－8x＋1」ではないの？
よくある間違いは、
（4x²）²
を
4x²
のままにしてしまうことです。
実際には、
4²＝16
そして、
（x²）²＝x⁴
になります。
つまり、
（4x²）²＝16x⁴
です。
x²をさらに二乗すると、指数は掛け算になるので、x⁴になります。
指数の基本ルールも覚えておく
累乗では、
（x²）²＝x⁴
のように、「指数どうしを掛け算する」ルールがあります。
| 式 | 結果 |
|---|---|
| （x²）² | x⁴ |
| （x³）² | x⁶ |
| （2x²）² | 4x⁴ |
このルールを覚えると、展開問題がかなり解きやすくなります。
まとめ
（2x＋1）²（2x－1）² は、
｛（2x＋1）（2x－1）｝²
↓
（4x²－1）²
↓
16x⁴－8x²＋1
となります。
今回のポイントは、
- （a＋b）（a－b）の公式
- （a－b）²の公式
- （x²）²＝x⁴ の指数ルール
の3つです。
途中式を改行しながら整理すると、かなりミスしにくくなります。
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