「曲線群の直交截線を求めよ」という問題は、微分方程式の典型問題として大学数学や高度な微積分でよく登場します。
特に、媒介変数を含む曲線群から微分方程式を作り、それと直交する曲線を求める流れに苦戦する人は少なくありません。
この記事では、
x^2/a^2+y^2/(a^2+α)=1
という曲線群の直交截線を、途中式を省略せず丁寧に解説します。
まず与えられた曲線群を整理する
与えられた曲線群は
x^2/a^2+y^2/(a^2+α)=1
です。
ここで α は助変数であり、この値を変えることで無数の楕円が得られます。
まずは、この曲線群の微分方程式を求める必要があります。
両辺を x で微分する
式
x^2/a^2+y^2/(a^2+α)=1
を x で微分します。
a と α は定数として扱います。
すると、
2x/a^2+2y/(a^2+α)・dy/dx=0
となります。
整理すると、
dy/dx=-(a^2+α)x/(a^2y)
です。
助変数 α を消去する
次に、元の式から α を消去します。
元の式を変形すると、
y^2/(a^2+α)=1-x^2/a^2
です。
右辺を整理すると、
1-x^2/a^2=(a^2-x^2)/a^2
なので、
a^2+α=a^2y^2/(a^2-x^2)
となります。
これを先ほどの dy/dx に代入します。
曲線群の微分方程式を作る
代入すると、
dy/dx=-(a^2y^2/(a^2-x^2))・x/(a^2y)
となります。
a^2 を約分すると、
dy/dx=-xy/(a^2-x^2)
です。
これが与えられた曲線群の接線の傾きになります。
直交截線の傾きを求める
直交截線では、接線同士が直交します。
つまり、傾きの積が -1 になります。
もとの傾きが
m=-xy/(a^2-x^2)
なので、直交截線の傾きは
m’=-(1/m)
です。
計算すると、
dy/dx=(a^2-x^2)/(xy)
となります。
変数分離を行う
この微分方程式を解きます。
まず変形して、
y dy=(a^2-x^2)/x dx
です。
さらに右辺を分けると、
y dy=(a^2/x-x)dx
になります。
両辺を積分する
積分すると、
∫y dy=∫(a^2/x-x)dx
です。
左辺は
y^2/2
右辺は
a^2 ln|x|-x^2/2+C
となります。
よって、
y^2/2=a^2 ln|x|-x^2/2+C
です。
両辺を2倍すると、
y^2=2a^2 ln|x|-x^2+C
となります。
これが直交截線
したがって、求める直交截線は
y^2+x^2-2a^2ln|x|=C
です。
これが与えられた楕円群と直交する曲線群になります。
直交截線問題で重要な考え方
このタイプの問題では、次の流れを覚えると解きやすくなります。
- 曲線群を微分する
- 助変数を消去する
- 元の傾き m を求める
- 直交条件から -1/m を使う
- 微分方程式を解く
特に「傾きを逆数にして符号を変える」という操作が重要です。
これは「2直線が直交する条件」から来ています。
まとめ
曲線群 x^2/a^2+y^2/(a^2+α)=1 の直交截線を求めるには、まず曲線群を微分して助変数 α を消去し、元の曲線群の接線の傾きを求めます。その後、直交条件を使って傾きを逆数・符号反転し、新しい微分方程式を解きます。最終的に、直交截線は y^2+x^2-2a^2ln|x|=C となります。直交截線問題は「微分方程式」と「図形的な直交条件」を組み合わせる典型問題なので、解法パターンを理解しておくことが大切です。
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