三角関数の合成公式における位相角の違いと注意点

三角関数の合成公式では、例えば cos2θ – √3 sin2θ – 1 > 0 の式を sin または cos の1つの関数にまとめることがあります。このとき、位相角の選び方によって表現が変わりますが、式の値自体は同じです。

合成公式の基本

一般に a cos x + b sin x は √(a^2 + b^2) sin(x + α) または √(a^2 + b^2) cos(x – β) の形に合成できます。ここで α や β は tanα = a/b などで求めます。

合成の形を sin(x + α) にすると位相角 α が正または負で表される場合がありますが、360°周期（2π）を考慮すれば同じ式です。

cos2θ – √3 sin2θ を sin で合成すると 2 sin(2θ + 11π/6) になりますが、11π/6 は -π/6 と同値です（2πの周期で ±2π を加えても同じ値になります）。

したがって、模範解答の 2 sin(2θ – π/6) と 2 sin(2θ + 11π/6) は式として等価であり、計算や解の範囲にも影響はありません。

位相角の符号を間違えやすいのは、tan α を使って角度を求めるときに象限を間違える場合です。必ず cos と sin の符号から α の象限を確認すると正確に合成できます。

1. a cos x + b sin x の形を √(a^2+b^2) sin(x+α) または cos(x-β) にまとめる
2. α の符号や周期に注意する
3. 解の範囲 0 ≦ θ < 2π に合わせて調整する

11π/6 と -π/6 は 2π の周期で同じ値になるため、式の合成においてどちらを使っても結果は変わりません。重要なのは、位相角の符号や象限を確認し、周期性を意識することです。これにより、模範解答と自分の式が異なるように見えても正しいことが理解できます。