数学の問題で、最大公約数(GCD)と最小公倍数(LCM)が与えられたとき、条件を満たす2つの自然数の組を求めることがあります。今回は、GCDが21、LCMが294の2つの自然数の組を考えてみます。
美咲さんの考え方：互いに素を使う
2つの自然数a, bのGCDをGとすると、a = G × a’, b = G × b’と表せます。このとき、a’とb’は互いに素です。LCMはG × a’ × b’となります。
ステップ1：互いに素の関係式
与えられた条件：GCD(a,b) = 21, LCM(a,b) = 294
a = 21 × a’, b = 21 × b’, かつ a’ と b’ は互いに素
LCM(a,b) = 294 = G × a’ × b’ = 21 × a’ × b’
したがって、a’ × b’ = 294 ÷ 21 = 14
ステップ2：14の互いに素な組を探す
14を2つの互いに素な整数に分解します。互いに素とは、GCDが1であることです。
14の正の整数の組み合わせは (1,14), (2,7), (7,2), (14,1)。このうち、GCD(a’,b’) = 1 となるのは (1,14) と (2,7) のみです。
ステップ3：元の数に戻す
a = 21 × a’, b = 21 × b’
- (a’,b’) = (1,14) → (a,b) = (21,294)
- (a’,b’) = (14,1) → (a,b) = (294,21)
- (a’,b’) = (2,7) → (a,b) = (42,147)
- (a’,b’) = (7,2) → (a,b) = (147,42)
答え
最大公約数21、最小公倍数294となる2つの自然数の組は以下の4通りです。
- (21, 294)
- (294, 21)
- (42, 147)
- (147, 42)
まとめ
ポイントは、GCDで割った商が互いに素になることを利用することです。GCD × (互いに素な組) = 元の数であり、LCMを確認することで条件を満たす組をすべて見つけることができます。
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