積分での符号と部分分数分解の正しい扱い方：-∫dt/(1-t²)の例

数3の積分問題で、-∫dt/(1-t²) の計算において、符号の扱いと部分分数分解の方法が気になる方のために解説します。

符号の扱いについて

式 -∫dt/(1-t²) は、分母を -(t²-1) に変形することはできますが、この場合、積分全体にマイナスをかけることになるため注意が必要です。

具体的には。

-∫ dt/(1-t²) = -∫ dt/[-(t²-1)] = ∫ dt/(t²-1)

この変形は正しいです。符号をきちんと考えれば、積分の値は変わりません。

1/(t²-1) を部分分数分解すると。

1/(t²-1) = 1/[(t-1)(t+1)] = 1/2 * [1/(t-1) – 1/(t+1)]

ここから積分すると。

∫ dt/(t²-1) = 1/2 ∫ [1/(t-1) – 1/(t+1)] dt = 1/2 ln| (t-1)/(t+1) | + C

したがって、-∫ dt/(1-t²) の符号変換と部分分数分解の手順は正しく、最終結果として 1/2 ln| (t-1)/(t+1) | + C が得られます。符号の扱いを丁寧に行えば安心して計算できます。