無限等比数列の極限について：rの値に応じた収束と発散の違い

無限等比数列の極限に関して、r≦-1の場合に極限が存在しない理由と、-1

無限等比数列の基本

無限等比数列は、初項aと公比rを用いて、次のように表されます。
a, ar, ar^2, ar^3, … と続きます。無限等比数列の極限は、公比rの値によって収束するか発散するかが決まります。

無限等比数列の極限の求め方

無限等比数列の極限は、|r| < 1のときに収束し、その値は a / (1 - r) となります。逆に、|r| ≥ 1の場合、無限等比数列は収束せず発散します。この収束条件は、無限等比数列の重要な性質の一つです。

r ≦ -1の場合、極限は存在しない理由

公比rが-1以下の場合、無限等比数列の各項は次第に振動することになります。例えば、r = -1の場合、項はa, -a, a, -a,…と交互に現れます。これでは項が定まらず、数列が収束しないため、極限は存在しません。さらに、|r| > 1の場合も、項が大きくなりすぎて収束しないため、極限は存在しません。

-1 < r < 0の場合、極限が存在する理由

公比rが-1と0の間（-1 < r < 0）の場合、項は交互に符号が変わりますが、その絶対値は次第に小さくなり、最終的には0に収束します。例えば、r = -1/2の場合、数列は a, -a/2, a/4, -a/8, ... と続き、項の絶対値は減少しながら、極限値に収束します。したがって、-1 < r < 0 の場合、無限等比数列は収束し、その極限値は a / (1 - r) となります。

まとめ

無限等比数列の極限は、公比rの値によって決まります。|r| < 1のときは数列が収束し、極限を求めることができますが、|r| ≥ 1のときは数列が発散し、極限は存在しません。特に、r ≦ -1では数列が振動して収束せず、-1 < r < 0の場合は項の絶対値が減少し、収束します。