無理数の逆数は無理数？√3の逆数を証明なしで使える条件を解説

数学の問題では「√3は無理数である」のように、ある数が無理数だと与えられることがあります。そのとき、その逆数である1/√3も無理数として扱ってよいのか疑問に感じる人は少なくありません。

結論から言うと、0でない無理数の逆数は必ず無理数になります。ただし、その理由を理解しておくと、証明なしで使ってよい場面や注意点が分かります。

無理数の逆数も無理数になるのか

0ではない数aが無理数であるとき、1/aも無理数になります。これは数学の基本的な性質として認められているため、問題文で√3が無理数だと与えられている場合、1/√3も無理数として扱うことができます。

例えば√3は無理数です。その逆数である1/√3について考えると、もし1/√3が有理数だと仮定すると、矛盾が生じます。

つまり、無理数の逆数が有理数になることはありません。したがって、√3が無理数ならば1/√3も無理数です。

この性質は簡単に証明できます。まず、0でない無理数をxとします。そして、逆数1/xが有理数だと仮定します。

有理数とは、整数pと整数qを使ってp/qと表せる数です。つまり、1/xが有理数ならば、1/x=a（aは有理数）と書けます。

この式を変形すると、x=1/aになります。ここでaは有理数なので、1/aも有理数になります。するとxも有理数になってしまいます。

しかし、最初にxは無理数だと仮定していました。これは矛盾です。

したがって、1/xが有理数であるという仮定が間違っており、1/xは無理数であることが分かります。

問題文で「√3は無理数である」と与えられている場合、1/√3も無理数として利用できます。

例えば、分母を有理化するために次のような変形をすることがあります。

1/√3＝√3/3

この式を見ると、√3は無理数であり、それを3という有理数で割っているため、結果も無理数になります。

また、√3/3を有理数だとすると、両辺に3を掛けることで√3が有理数になってしまい、√3が無理数であることと矛盾します。

入試問題や学校の数学の問題では、教科書で扱われる基本的な性質については、問題文で直接証明を求められていない限り利用して構いません。

例えば「√2は無理数である」という事実は多くの問題で前提として扱われます。そのため、「√2の逆数も無理数である」という性質を利用する場合も、通常は毎回証明を書く必要はありません。

ただし、証明問題の場合や、授業で新しい性質を導く場面では、根拠を示すことが求められる場合があります。

無理数の逆数が無理数になるという性質には、「0ではない」という条件があります。

0は有理数であり、そもそも逆数が存在しません。そのため、「無理数の逆数」という話をするときは必ず0でない無理数を対象にしています。

また、逆数だけでなく、無理数に有理数を掛けたり割ったりする場合も、0以外の条件によって無理数性が保たれることがあります。

√3のような0ではない無理数の逆数は、必ず無理数になります。そのため、「√3は無理数である」と問題文で与えられているなら、1/√3も無理数として扱って問題ありません。

理由は、逆数が有理数だと仮定すると元の数も有理数になってしまい、無理数であることと矛盾するからです。

数学では、このような基本的な性質は一度理解しておけば、以降の問題では証明を書かずに利用できます。ただし、証明を求められている問題では、性質の根拠まで説明する必要があります。