群Sの部分群の証明: Q^* が群Sの部分群であることの示し方

群S = {a + b√2 | a, b ∈ Q, a² + b² ≠ 0} における Q^* が部分群であることを示す問題について解説します。この問題は群論の基本的な性質を利用して証明を行うものです。具体的な手順を追いながら、どのように証明を進めるべきかを説明します。

問題の理解とQ^*の定義

群S は、有理数を係数とする √2 を含んだ形式の数からなる集合です。この集合の元は、a + b√2 の形をしており、a と b は有理数で、a² + b² ≠ 0 という条件を満たしています。一方、Q^* はこの集合において特定の元が満たすべき条件に関連する部分群です。

群S の部分群であることを示すためには、Q^* が次の3つの条件を満たす必要があります：1) 結合法則が成り立つ、2) 単位元が存在する、3) 各元の逆元が存在する。この証明では、Q^* の元がこの3つの条件を満たすことを確かめる必要があります。

まず、Q^* の元が群S における演算について結合法則を満たすかを確認します。Q^* の元は、a + b√2 の形をしており、2つの元の和がまた同じ形式を取ることを確認できます。このため、Q^* は閉じており、結合法則が成り立つことがわかります。

次に、単位元が存在することを示します。Q^* の単位元は 1 の形を持つ有理数の元です。1 = 1 + 0√2 と表現でき、これは明らかに Q^* の元です。

Q^* の任意の元 a + b√2 に対して、逆元が存在することを示すためには、a + b√2 の逆元がまた Q^* の元であることを確認する必要があります。逆元は、1/(a + b√2) として求められ、これが Q^* の元として満たすべき条件を確認できます。

以上の手順を踏まえて、Q^* が群S の部分群であることを示すことができます。この証明では、群の基本的な性質を利用し、Q^* が群S における部分群の条件を満たすことを確認しました。