3次関数の極小点の軌跡を求める方法

高校の数学問題で、3次関数 y = x³ – 3ax² + 3x のグラフ上の極小点Pの軌跡を求める問題です。この問題では、第2次導関数を使わずに解く方法を解説します。

問題の理解と解法のアプローチ

まず、与えられた関数 y = x³ – 3ax² + 3x を確認します。この関数のグラフ上の極小点 P を求めるためには、まず関数の傾きがゼロになる点、すなわち導関数がゼロになる点を求めます。

関数 y = x³ – 3ax² + 3x の導関数を求めます。y’ = 3x² – 6ax + 3 です。この導関数をゼロにすることで、xの値を求めます。

y’ = 0 の式を解くと、3x² – 6ax + 3 = 0 となり、x = 1 または x = a となります。これが極小点 P の候補です。

次に、これらのx = 1 と x = a におけるyの値を計算します。y(1) = 1 – 3a + 3 となり、y(1) = 4 – 3a です。

また、x = a におけるyの値は y(a) = a³ – 3a² + 3a です。

与えられた条件をもとに、点Pの軌跡を求めるためには、これらのx = 1 と x = a におけるyの値がどう変化するかを分析します。

この問題では、第2次導関数を使わずに、導関数を用いて極小点を求め、その後の分析で点Pの軌跡を求める方法を説明しました。具体的な数値を入れて計算し、軌跡を描くことで解答を完成させます。