大学数学の代数学：巡回置換の位数の証明

巡回置換の位数に関する問題について理解を深めたい方へ。この記事では、巡回置換σ=(i_1,i_2,…,i_k)の位数が、その巡回の長さkと一致する理由を丁寧に解説します。

巡回置換とは？

巡回置換とは、集合の元をある順序で移動させる置換のことです。特に、置換が循環的に動く場合を指し、σ=(i_1,i_2,…,i_k)という形式で表されます。この置換では、i_1がi_2に移動し、i_2がi_3に、最後にi_kがi_1に戻るという特徴があります。

巡回置換の位数とは、置換を何回適用すれば元の配置に戻るかを示す値です。例えば、3つの要素を含む巡回置換では、3回適用すれば元の状態に戻ります。したがって、巡回置換の位数は、その巡回の長さに等しいことがわかります。

巡回置換σ=(i_1,i_2,…,i_k)の位数がkである理由を証明します。

まず、巡回置換を1回適用すると、i_1→i_2、i_2→i_3、…、i_k→i_1となります。これを繰り返し適用していくと、最初の状態に戻るまでにはk回の適用が必要です。したがって、巡回置換σの位数は、k回で元に戻るため、位数はkに一致します。

例えば、σ=(1, 2, 3)という巡回置換を考えます。この置換を1回適用すると、1→2、2→3、3→1となり、再度適用すると、2→3、3→1、1→2、というように繰り返されます。これを3回適用すると、元の状態に戻ります。つまり、位数は3であり、巡回の長さkと一致しています。

巡回置換の位数は、置換がどれくらいの回数で元の状態に戻るかを示すものであり、その位数は巡回の長さkと一致します。この理解を深めることで、代数学の基本的な概念を確実に習得することができます。