積分 ∫0→1 t²/((t²+1)(t²+3)) dt の解法

大学数学の問題で、次の積分を解く方法について解説します。積分∫0→1 t²/((t²+1)(t²+3)) dtは、部分分数分解を用いて簡単に解くことができます。この記事では、その解法をステップバイステップで説明します。

積分式の理解

与えられた積分式は、次のように表されます：
∫₀¹ t²/((t²+1)(t²+3)) dt。この積分を解くためには、まず分数式を部分分数分解する必要があります。部分分数分解は、複雑な分数の積分を解くための手法の一つです。

部分分数分解のステップ

積分式を部分分数分解するために、t²/((t²+1)(t²+3))を次のように分解します：
t²/((t²+1)(t²+3)) = A/(t²+1) + B/(t²+3)。
ここで、AとBを求めるために、分母を共通にして等式を解きます。まず、両辺に(t²+1)(t²+3)を掛けて、AとBを含む式を得ます。

AとBの計算

次に、t²/((t²+1)(t²+3)) = A/(t²+1) + B/(t²+3) を等式に従って展開し、AとBの値を求めます。この式を解くと、AとBの値が得られます。具体的な計算方法については、数式を整理して解く必要があります。

積分の計算と最終的な解法

AとBの値が求まったら、それぞれの項について積分を行います。各項の積分は、基本的な積分公式を使って計算します。最終的に、積分結果が得られるので、その値を求めます。

まとめ

この問題は、部分分数分解を用いて積分を解く問題です。具体的な計算方法をステップバイステップで進めることで、難しい積分も解くことができます。部分分数分解の技術を使いこなすことで、より複雑な積分も簡単に解けるようになります。