対数の大小比較では、底が1より大きいか、0より大きく1より小さいかによって大小関係が変化するため、混乱しやすい問題です。特に今回のようにaやbが分数の範囲で指定されている場合は、底の性質を理解することが重要になります。
この記事では、1/3＜a＜2/3＜b＜1という条件のもとで、log_b(1/3)、log_b(2/3)、log_(2/3)(b)、log_a(b)、1を小さい順に並べる考え方を丁寧に解説します。
まずは対数の底による増減を確認する
対数y=log_a(x)では、底aの値によってグラフの増減が決まります。
底が1より大きい場合（a＞1）は、xが大きくなるほどyも大きくなります。つまり、真数の大小関係がそのまま対数の大小関係になります。
一方、0＜a＜1の場合は逆になります。真数が大きくなるほど対数の値は小さくなります。今回の問題では、aもbも1より小さいため、この性質を使います。
log_b(1/3)とlog_b(2/3)を比較する
bは2/3＜b＜1なので、0＜b＜1です。そのため、関数y=log_b(x)は減少関数になります。
真数を比較すると、1/3＜2/3です。しかし底bは1より小さいため、大小関係は逆転します。
したがって、
log_b(1/3)＞log_b(2/3)
となります。
つまり、この2つではlog_b(2/3)の方が小さい値になります。
log_(2/3)(b)と1の関係を調べる
次にlog_(2/3)(b)を考えます。底は2/3であり、0より大きく1より小さいため、これも減少関数です。
条件よりb＞2/3なので、真数bは底2/3より大きくなっています。
0＜底＜1の場合、底の値より真数が大きいとき、対数の値は負になります。したがって、
log_(2/3)(b)＜0＜1
となり、log_(2/3)(b)は1より小さいことが分かります。
log_a(b)の符号を確認する
aについては1/3＜a＜2/3なので、0＜a＜1です。したがって、log_a(x)も減少関数になります。
また、bは2/3より大きいため、aとbの関係を見ると、
a＜b
となります。
底が0と1の間にある場合、真数が底より大きいと対数の値は負になります。そのため、
log_a(b)＜0
です。
ここでlog_(2/3)(b)とlog_a(b)の大小を比較する必要があります。
log_a(b)とlog_(2/3)(b)を比較する
対数の底の変換公式を利用すると比較しやすくなります。
log_a(b)=log(b)/log(a)
log_(2/3)(b)=log(b)/log(2/3)
ここで、bは0＜b＜1なのでlog(b)は負の値です。また、a＜2/3＜1なので、
log(a)＜log(2/3)＜0
となります。
分母がより小さい負の値になるほど、負の分数の値は大きくなります。例えば、-2を-1で割るより、-2を-3で割った方が大きい値になります。
この関係から、
log_a(b)＜log_(2/3)(b)
となります。
すべての値を小さい順に並べる
ここまでの結果を整理します。
| 式 | 性質 |
|---|---|
| log_a(b) | 最も小さい負の値 |
| log_(2/3)(b) | 負の値 |
| log_b(2/3) | 負の値 |
| log_b(1/3) | log_b(2/3)より大きい |
| 1 | 正の値 |
したがって、小さい順に並べると、
log_a(b)＜log_(2/3)(b)＜log_b(2/3)＜log_b(1/3)＜1
となります。
対数の大小比較で覚えておきたいポイント
対数問題では、最初に「底が1より大きいか」「0より大きく1より小さいか」を確認することが最も重要です。
特に0＜底＜1の場合は、真数の大小が逆になるため、今回のような問題では多くの間違いが起こります。
また、符号を確認すると整理しやすくなります。底と真数の関係から正か負かを判断し、その後で具体的な大小比較を行うと複雑な式でも解きやすくなります。
まとめ
1/3＜a＜2/3＜b＜1の条件では、aとbはどちらも1より小さいため、対数関数は減少関数になります。
底が1より小さい対数では大小関係が逆になること、そして底の比較では変換公式を利用することがポイントです。
最終的な答えはlog_a(b)＜log_(2/3)(b)＜log_b(2/3)＜log_b(1/3)＜1となり、底の性質を理解すれば同じタイプの問題にも対応できるようになります。
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