指数と対数の計算では、見た目が複雑でも基本的な関係式を理解すると簡単に解くことができます。特に「3^log(3)2=2」という式は、指数と対数がお互いに逆の働きをすることを利用した代表的な例です。
この記事では、なぜ3を底とする指数に3を底とする対数を入れると元の数に戻るのかを、対数の定義から順番に解説します。
指数と対数は逆の関係になっている
まず、対数の基本的な意味を確認します。例えば「log₃2」は、「3を何乗すると2になるか」という数を表しています。
つまり、log₃2をaとすると、次のような関係になります。
3^a=2
このaがlog₃2なので、式を置き換えると以下のようになります。
3^(log₃2)=2
つまり、3を底とする指数と、3を底とする対数は互いに打ち消し合う関係にあるため、元の数である2が残ります。
対数の定義から式を確認する
対数は「aを何乗するとbになるか」を表す記号です。一般的には次のように定義されます。
a^x=b のとき、x=logₐb
今回の式では、底が3なので以下の関係になります。
3^x=2 のとき、x=log₃2
つまり、log₃2とは「3を何乗したら2になるか」という指数そのものです。そのため、その値を再び3の指数部分に入れると、必ず2になります。
具体例で見る指数と対数の打ち消し
同じ仕組みを別の数字で考えると理解しやすくなります。
例えば、log₂8を考えると、「2を何乗すると8になるか」という意味なので、log₂8=3になります。
この値を指数に戻すと、2^log₂8=2³=8となり、元の数字に戻ります。
今回の3^log₃2も同じ仕組みで、3を何乗すると2になるかという値を指数に置いているため、答えは2になります。
底が同じであることが重要なポイント
3^log₃2=2が成立する重要なポイントは、指数の底と対数の底が同じ3であることです。
例えば、2^log₃2のように底が異なる場合は、単純に2になるわけではありません。指数と対数が逆の関係として働くためには、同じ底を使う必要があります。
この性質は数学では非常に重要で、指数関数と対数関数が互いの逆関数であることを表しています。
指数と対数の公式として覚える方法
数学では次の公式として覚えておくと便利です。
a^(logₐb)=b
この公式は、aが1ではなく正の数である場合に成立します。
例えば、5^(log₅10)=10、7^(log₇3)=3のように、底と対数の底が一致していれば、指数と対数が消えて中身の数字だけが残ります。
ただし、logの底が何なのかを確認せずに計算すると間違いやすいため、式を見るときは必ず底に注目することが大切です。
まとめ
「3^log₃2=2」となる理由は、対数log₃2が「3を何乗すると2になるか」を表す数だからです。
つまり、log₃2をxとすると3^x=2であり、そのxを再び3の指数に入れているため、結果として2に戻ります。
指数と対数は逆の関係を持っているため、同じ底で組み合わせると互いの働きを打ち消します。この基本的な考え方を理解すると、さまざまな指数・対数の問題を解きやすくなります。
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