対数の大小比較では、底が1より大きいか0と1の間にあるかによって、値の増減が変わるため注意が必要です。特に、1/3＜a＜2/3＜b＜1のように底がすべて1未満になる問題では、対数関数の性質を理解することが重要になります。
この記事では、log_b(1/3)、log_b(2/3)、log_{2/3}(b)、log_a(b)、1をどのように比較すればよいのか、考え方の手順を詳しく解説します。
対数の大小問題で迷った場合は、まず底と真数の関係を整理することが解答への近道になります。
まず対数の基本的な性質を確認する
対数log_a(b)は、「aを何乗するとbになるか」を表しています。つまり、log_a(b)=xならばa^x=bです。
ここで重要なのが底aの範囲です。底が1より大きい場合と、0より大きく1未満の場合では、対数関数の増減が逆になります。
| 底の条件 | 対数関数の特徴 |
|---|---|
| a＞1 | 真数が大きいほど対数の値も大きくなる |
| 0＜a＜1 | 真数が大きいほど対数の値は小さくなる |
今回の問題では、aもbも1より小さいため、底が1未満の対数として考える必要があります。
log_b(1/3)とlog_b(2/3)を比較する
まず、底bについて考えます。条件より2/3＜b＜1なので、bは1未満です。
底が1未満の対数関数は、真数が大きくなるほど値が小さくなります。つまり、1/3と2/3を比較すると、2/3のほうが大きいため、
log_b(1/3)＞log_b(2/3)
となります。
例えば、底が1/2の場合を考えると、(1/2)^1=1/2、(1/2)^2=1/4のように、指数が大きくなるほど値が小さくなります。そのため、底が1未満では対数の大小関係が逆になることが分かります。
log_{2/3}(b)の値を考える
次にlog_{2/3}(b)を見ます。これは底が2/3、真数がbです。
条件より2/3＜b＜1なので、bは底の2/3より大きく、1より小さい数です。
底2/3は1未満なので、指数が0より大きい場合、(2/3)^xは1より小さくなります。また、(2/3)^1=2/3です。
bは2/3より大きいため、(2/3)^x=bとなるxは1より小さくなります。さらにbは1より小さいため、xは0より大きくなります。
したがって、
0＜log_{2/3}(b)＜1
となります。
log_a(b)の値を考える
次にlog_a(b)について考えます。条件より1/3＜a＜2/3、そして2/3＜b＜1です。
つまり、aは1未満でbはaより大きい数です。底aが1未満なので、aの指数が大きくなるほどa^xは小さくなります。
a^0=1、a^1=aです。今回bはaより大きく1より小さいため、a^x=bとなるxは0より小さくなります。
よって、
log_a(b)＜0
になります。
それぞれの値を整理して比較する
ここまでで各値の範囲を整理すると、以下のようになります。
| 値 | 範囲 |
|---|---|
| log_a(b) | 0より小さい |
| log_{2/3}(b) | 0より大きく1より小さい |
| 1 | 1 |
| log_b(2/3) | ? |
| log_b(1/3) | ? |
最後にlog_b(1/3)とlog_b(2/3)の位置を確認します。
bは2/3より大きいため、b^1=b、b^0=1です。そしてb^xが1/3になるには、2/3になる場合よりも大きな指数が必要になります。
底bは1未満なので、指数が大きいほど値は小さくなります。したがって、どちらも負の値ではありますが、
log_b(1/3)＞log_b(2/3)
となります。
最終的な小さい順の答え
以上の結果から、大小関係を並べると、
log_a(b)＜log_b(2/3)＜log_b(1/3)＜log_{2/3}(b)＜1
となります。
このような対数の大小比較では、数値を直接計算しようとするよりも、底が1より大きいか、0と1の間にあるかを確認し、関数の増減を利用することが重要です。
まとめ
1/3＜a＜2/3＜b＜1の条件では、すべての底が1未満になる可能性があるため、対数関数の性質が逆になる点がポイントです。
解く手順としては、①底の範囲を確認する、②真数との大小関係を見る、③値の範囲を求める、という流れで考えると整理しやすくなります。
対数の大小比較は暗記だけではなく、グラフや指数との関係を理解すると、複雑な問題でも正しく判断できるようになります。
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