sin2α＞cosαの解き方｜0＜α＜πでの範囲を求める方法と等号の場合の違い

三角不等式は、三角関数の値の大小関係から角度αの範囲を求める問題です。特に「0＜α＜π」のような条件が付く場合、その範囲内で考えることが重要になります。

この記事では、sin2α＞cosα（0＜α＜π）の不等式をどのように変形して解くのか、また条件が「＜」ではなく「≦」や「＝」になった場合に答えがどう変化するのかを分かりやすく解説します。

三角関数の符号や単位円の考え方を使えば、同じような問題にも応用できるようになります。

sin2αを変形して不等式を整理する

まず、与えられた不等式は次の形です。

sin2α＞cosα

ここで、2倍角の公式を利用します。sin2αは次のように表せます。

sin2α＝2sinαcosα

したがって、不等式は次のようになります。

2sinαcosα＞cosα

右辺を左辺に移動すると、

2sinαcosα－cosα＞0

cosα(2sinα－1)＞0

となります。

0＜α＜πの範囲で符号を考える

次に、条件で指定されている0＜α＜πの範囲で、それぞれの因子の符号を調べます。

まずcosαについて考えます。0＜α＜πでは、αが0から90度（π/2）までならcosαは正、π/2からπまでならcosαは負になります。

つまり、

0＜α＜π/2のとき cosα＞0

π/2＜α＜πのとき cosα＜0

です。

次に、2sinα－1の符号を考えます。

2sinα－1＞0となるのは、sinα＞1/2のときです。0＜α＜πでは、

π/6＜α＜5π/6

となります。

符号表を使って解を求める

求める条件は、

cosα(2sinα－1)＞0

です。つまり、2つの値の符号が同じになる必要があります。

区間ごとに考えると、

積が正になる部分を選ぶため、答えは、

π/6＜α＜π/2 または 5π/6＜α＜π

となります。

条件が0＜α≦πだった場合はどう変わるか

問題文の条件が「0＜α＜π」ではなく「0＜α≦π」のように変わった場合、端の値を含むかどうかを確認する必要があります。

今回の解ではα＝πでは、

sin2π＝0、cosπ＝－1

となり、不等式0＞－1は成立します。

しかしα＝πは元の範囲では含まれていません。そのため、「0＜α≦π」の場合にはα＝πを追加する必要があります。

一方、α＝0については条件に含まれていません。また、α＝π/6やπ/2、5π/6などは不等式が等号になるため、厳密な「＞」では答えに含まれません。

不等号が変わると解答範囲も変化する

三角不等式では、「＞」なのか「≧」なのかによって境界の角度を含むかどうかが変わります。

例えば今回の問題が、

sin2α≧cosα

だった場合は、sin2α＝cosαとなる角度も含めて考える必要があります。

つまり、π/6、π/2、5π/6などの境界となる値を含めるかどうかを最後に確認することが大切です。

三角不等式を解くときのポイント

三角関数の不等式では、最初に公式を使って因数分解できる形に変形することが基本です。今回の場合は、sin2αを2sinαcosαに変えることで、符号の問題に置き換えることができました。

また、角度の範囲条件は非常に重要です。同じ式でも0から2πまで考える場合と、0からπまで考える場合では答えが変わります。

最後に、求めた範囲の端の値を元の不等式に代入して確認すると、境界を含めるミスを防ぐことができます。

まとめ

sin2α＞cosα（0＜α＜π）の問題では、sin2αを2sinαcosαに変形し、cosα(2sinα－1)＞0として符号を調べます。

その結果、解の範囲はπ/6＜α＜π/2 または 5π/6＜α＜πとなります。

また、条件の「＜」が「≦」に変わる場合は、境界の角度を含めるかどうかが変化します。三角不等式では、式の変形だけでなく、最後の範囲確認まで丁寧に行うことが正確な解答につながります。