複数の条件が与えられる集合問題では、文章をそのまま読むだけでは混乱しやすいため、人数を記号化して整理することが重要です。特に今回のような「3種類のペンを何本持っているか」という問題は、各パターンの人数を表にすると解答までの流れが見えやすくなります。
この記事では、10人の会議出席者が黒・青・赤のペンを持っている条件を整理し、なぜ「黒を持っていない人は4人である」と確実に言えるのかを順番に解説します。
まずはペンの持ち方を6種類に分類する
3種類のペンを持つ人数を考えるとき、同じ種類の組み合わせごとに分けて考えると分かりやすくなります。
赤のみを持つ人はいないという条件があるため、考えられる持ち方は次の6種類です。
・黒のみ
・青のみ
・黒と青のみ
・黒と赤のみ
・青と赤のみ
・黒と青と赤の3種類すべて
それぞれの人数を以下のように置きます。
黒のみをa人、青のみをb人、黒青のみをc人、黒赤のみをd人、青赤のみをe人、3種類すべてを3人とします。
条件から人数の関係を式にする
問題文より、黒と青の2種類のみを持つ人と、黒と赤の2種類のみを持つ人の数は同じです。
つまり、c=dとなります。
また、青のみを持つ人と、青と赤の2種類のみを持つ人の数も同じなので、b=eとなります。
さらに、3種類とも持っている人は3人なので、全体の人数10人から以下の関係になります。
a+b+c+d+e+3=10
ここでc=d、b=eなので、
a+2b+2c+3=10
整理すると、
a+2b+2c=7
青を持つ人数が最も多いという条件を利用する
次に、各色を持っている人数を考えます。
黒を持っている人数は、黒のみ、黒青のみ、黒赤のみ、3種類すべてなので、
黒の人数＝a+c+d+3=a+2c+3
青を持っている人数は、青のみ、黒青のみ、青赤のみ、3種類すべてなので、
青の人数＝b+c+e+3=2b+c+3
赤を持っている人数は、黒赤のみ、青赤のみ、3種類すべてなので、
赤の人数＝d+e+3=c+b+3
問題では「持っている人の数が一番多い種類は青」とあります。そのため、青の人数は黒や赤より多くなります。
黒を持っていない人数を求める
黒を持っていない人とは、黒のみ、黒青のみ、黒赤のみを持っていない人です。つまり、該当するのは青のみ、青赤のみ、赤のみの人になります。
しかし、赤のみを持つ人はいないため、黒を持っていない人数は、
青のみの人数＋青赤のみの人数
となります。
条件から青のみの人数と青赤のみの人数は同じなので、黒を持っていない人数は、
b+b=2b
となります。
ここで、先ほどの式a+2b+2c=7を使います。
a、b、cは人数なので0以上の整数です。また青が最も多い種類になるため、青の人数である2b+c+3が黒の人数a+2c+3より大きくなります。
つまり、2b+c+3＞a+2c+3となり、2b＞a+cとなります。
この条件を満たす組み合わせを確認すると、a=1、b=2、c=1となり、黒を持っていない人数は2b=4人となります。
実際の人数で確認してみる
求めた人数を当てはめると、以下のようになります。
黒のみ：1人
青のみ：2人
黒青のみ：1人
黒赤のみ：1人
青赤のみ：2人
3種類すべて：3人
合計すると、1+2+1+1+2+3=10人となり条件を満たします。
この場合、黒を持っている人は、黒のみ1人、黒青1人、黒赤1人、3種類3人なので合計6人です。
したがって、黒を持っていない人は10人−6人で4人になります。
集合問題を解くときのポイント
このような問題では、文章だけで考えると条件が複雑に感じますが、「種類ごとの人数」を文字で置くことで関係性が明確になります。
特に「同じ人数である」という条件は、すぐに等式に変換することが重要です。今回の場合は、黒青のみと黒赤のみ、青のみと青赤のみが同じ人数という2つの条件が大きなポイントでした。
また、「一番多い種類」という条件は、単なる情報ではなく、複数ある可能性を絞り込むための重要な手掛かりになります。
まとめ
10人のペン問題は、6種類の持ち方に分類して人数を文字で表すことで解くことができます。
赤のみを持つ人がいないこと、同じ組み合わせの人数が等しいこと、青を持つ人が最多であることを利用すると、黒を持っていない人は4人と求められます。
集合や場合分けの問題では、条件を整理して数式化することが解答への近道です。
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