第三象限のタンジェントはなぜ負になる？x軸から時計回り・反時計回りの角度とtanの符号を解説

三角関数を学ぶと、角度の向きや象限によってsin、cos、tanの符号が変化するため、混乱しやすいポイントがあります。特に「x軸から時計回りに測った角度の場合、第三象限でもタンジェントは負になるのか」「角度θは正として考えるのか」という疑問は、多くの人がつまずく部分です。

この記事では、角度の測り方とタンジェントの符号の関係について、第三象限の場合を中心に分かりやすく解説します。

三角関数では、角度の向きだけではなく、終辺がどの象限にあるかを確認することが重要です。基本的な考え方を理解すれば、時計回り・反時計回りの問題でも迷わなくなります。

タンジェントは座標で考えると理解しやすい

タンジェントは、単位円や座標平面上では「y座標をx座標で割ったもの」と考えることができます。

つまり、角度θの終辺上にある点を(x,y)とすると、tanθは次のように表されます。

tanθ＝y÷x

このため、タンジェントの符号はx座標とy座標の符号によって決まります。

例えば、xが正でyが正ならtanは正になります。一方で、xとyの符号が異なる場合はtanは負になります。

第三象限では、x座標もy座標も負になります。

つまり、第三象限の点では以下のようになります。

座標	符号
x	負
y	負

タンジェントはy÷xなので、負÷負となり結果は正になります。

したがって、通常の三角関数の考え方では、第三象限のtanθは負ではなく正です。

「第三象限だからtanは負」と考えてしまうのは間違いで、象限ごとの符号の特徴を覚える必要があります。

三角関数の符号は、象限ごとに決まっています。

この表から分かるように、タンジェントが負になるのは第二象限と第四象限です。

第三象限ではsinもcosも負ですが、tanは正になります。

x軸から時計回りに角度を測る場合、数学では通常、時計回りの角度は負の角度として扱います。

例えば、x軸から反時計回りに120度進んだ角度は120°ですが、時計回りに120度進んだ場合は−120°と表します。

ただし、−120°の終辺は第三象限にあります。これは、360°−120°＝240°と同じ位置になるためです。

tan(−120°)を考える場合でも、終辺が第三象限にあることから、tanの値は正になります。

問題文によっては「x軸から時計回りにθ」と書かれていることがあります。この場合、θそのものを正の量として扱い、向きだけを時計回りとして表現している場合があります。

一方、数学の角度表現では時計回りを負の角度として、−θと表すこともあります。

重要なのは、角度の数字が正か負かだけを見るのではなく、最終的にどの象限に終辺があるかを確認することです。

例えば、時計回りに30°なら第四象限なのでtanは負になります。しかし、時計回りに120°なら第三象限なのでtanは正になります。

三角関数の符号問題では、暗記だけに頼るよりも座標で考えると間違いが減ります。

まず角度の終辺がどの象限にあるかを確認し、その後でx座標とy座標の符号からtanの符号を判断します。

例えば第三象限なら「xもyもマイナスだから、tanはマイナス同士の割り算でプラス」と考えれば簡単に判断できます。

第三象限にある角度のタンジェントは、通常は負ではなく正になります。

タンジェントはtanθ＝y÷xで考えるため、第三象限ではxもyも負になり、負÷負で正になるからです。

また、時計回りの角度は負の角度として表す場合がありますが、最も大切なのは角度の終辺がどの象限にあるかを確認することです。象限と座標の関係を理解すれば、三角関数の符号判断で迷うことは少なくなります。