数学の最大値問題では、変数同士の関係を表す条件を利用して式を簡単な形に変形することが重要です。特に「a×b=一定」のような積の条件がある場合、相加平均・相乗平均の関係を使うことで、複雑に見える式でも最大値を求めることができます。
今回は、S={1/(√a+b)}×√2×(8/3)、ab=16という条件をもとに、どのように考えれば最大値を求められるのかを解説します。
単純に数字を代入するだけではなく、最大値問題で必要となる考え方を身につけることを目的とした内容です。
積の条件ab=16があるときの基本的な考え方
条件としてab=16が与えられている場合、aとbは自由に決められるわけではありません。片方の値が決まると、もう片方も自動的に決まります。
例えば、a=4ならb=4、a=8ならb=2というように、積が16になる組み合わせは複数あります。
最大値を求める問題では、aやbを個別に考えるのではなく、条件を利用して式の中にある「aとbの関係」を利用することがポイントになります。
分母の√a+√bに注目する
与えられた式は、S={1/(√a+b)}×√2×(8/3)という形になっています。最大値を考えるとき、分子の部分は一定なので、分母ができるだけ小さくなればSは大きくなります。
つまり、この問題では√a+√bを最小にすることが重要になります。
ここでab=16という条件を使います。平方根を含む形なので、x=√a、y=√bと置き換えると考えやすくなります。
置き換えて相加平均・相乗平均を利用する
x=√a、y=√bとすると、xy=√(ab)=√16=4となります。
このとき、求めたい部分はx+yになります。積xyが一定のとき、和x+yは相加平均・相乗平均の関係から、
x+y≧2√(xy)
となります。
今回の場合、xy=4なので、
x+y≧2√4=4
となり、√a+√bの最小値は4です。
等号が成立するのはx=yのときなので、√a=√b、つまりa=bのときに分母が最小になります。
最大値を計算する
分母の最小値が4になるため、Sはそのとき最大になります。
したがって、式に代入すると、
S=(1/4)×√2×(8/3)
となります。
ここで式を整理すると、
S=2√2/3
となります。
ただし、問題文の式が「√a+b」なのか「√(a+b)」なのかによって答えは変わります。最大値問題では、根号の位置による違いが非常に重要です。
答えが4/3になる場合の確認ポイント
提示された答えが4/3の場合、式の解釈が「√(a+b)」など別の形になっている可能性があります。
例えば、分母が√(a+b)の場合は、ab=16の条件からa+bの最小値を考える必要があります。
a+b≧2√(ab)=2√16=8
となるため、a+bの最小値は8です。このように根号の中身や式の書き方によって、使用する不等式や計算結果が変化します。
最大値問題で式を読むときの注意点
今回のような問題では、計算方法だけでなく、最初に式を正確に読み取ることが非常に重要です。
「√a+b」と「√(a+b)」は見た目が似ていますが、数学では全く異なる式です。そのため、最大値を求める前に、どの部分が平方根なのかを確認する必要があります。
また、積の条件がある場合は、相加平均・相乗平均を使える形に変形できないかを考えることが、解答への近道になります。
まとめ
ab=16のような積の条件がある最大値問題では、aとbを別々に扱うのではなく、平方根や置き換えを利用して和の形に変換することが基本です。
特に、相加平均・相乗平均の関係「x+y≧2√xy」は、積が一定のときの最大値・最小値問題で非常によく使われます。
ただし、今回のように式の書き方によって答えが変わるため、平方根の位置を正確に確認することも大切です。問題文を正しく読み取り、条件を利用して式を整理することが最大値問題を解くポイントになります。
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