連立偏微分方程式は、複数の偏微分の関係から未知関数を求める問題です。特に、分母に未知関数zを含む形では、そのまま積分しようとしても解きにくいため、式の構造を見抜いて変数変換を行うことが重要になります。
ここでは、偏微分方程式 ∂z/∂x=y/(x+y+2z)、∂z/∂y=x/(x+y+2z) の一般解を求める流れを、途中の考え方を含めて詳しく解説します。
与えられた連立偏微分方程式を確認する
問題の式は次の2つです。
∂z/∂x = y/(x+y+2z)
∂z/∂y = x/(x+y+2z)
ここでzはx,yの関数であり、z=z(x,y)と考えます。
2つの式を見ると、分母がどちらもx+y+2zになっています。この共通した形を利用することが解法のポイントになります。
分母に現れる式を新しい変数として考える
分母にあるx+y+2zを1つのまとまりとして扱います。
u=x+y+2z
と置きます。
このときuをx,yについて偏微分すると、
∂u/∂x=1+2∂z/∂x
∂u/∂y=1+2∂z/∂y
となります。
与えられた偏微分方程式を代入すると、
∂u/∂x=1+2y/u=(u+2y)/u
∂u/∂y=1+2x/u=(u+2x)/u
となります。
変数変換によって関係式を作る
次に、u=x+y+2zという定義から、x,y,zの関係を利用します。
z=(u-x-y)/2
となります。
この形から、元の偏微分方程式を直接解くよりも、uとx,yの関係を調べる方が簡単になります。
また、連立偏微分方程式では整合条件（混合偏微分が一致する条件）を利用することもできます。
つまり、
∂²z/(∂y∂x)=∂²z/(∂x∂y)
が成立する必要があります。
整合条件から解の形を求める
まず、
p=∂z/∂x、q=∂z/∂y
とおくと、
p=y/(x+y+2z)、q=x/(x+y+2z)
になります。
この2つを比較すると、
p/q=y/x
であることが分かります。
したがって、
x∂z/∂x=y∂z/∂y
という関係が得られます。
これはzがxとyの比に関係する形で表される可能性を示しています。
同次関数として解く
ここで、t=y/xとして変数変換を考えます。
zをxとyの比を使って表すため、
z=xφ(y/x)
のような形を仮定します。
このような同次関数の考え方を使うことで、2変数の偏微分方程式を1変数の微分方程式へ変換できます。
計算を進めると、最終的に一般解は次の形になります。
x+y+2z=C
ここでCは任意定数です。
したがって、
z=(C-x-y)/2
となります。
得られた解を元の式で確認する
求めた解
z=(C-x-y)/2
を偏微分すると、
∂z/∂x=-1/2
∂z/∂y=-1/2
となります。
ただし、この値を元の式に代入すると一般には一致しないため、上記の単純な形は今回の方程式の厳密な解ではありません。
実際には、途中で得た関係式を用いてさらに積分因子や特性曲線法による処理が必要になります。
この問題のような連立偏微分方程式では、単純な積分ではなく、ラグランジュの方法（特性曲線法）を利用するのが標準的な解法になります。
特性曲線法による一般的な解法
連立偏微分方程式
∂z/∂x=P(x,y,z)、∂z/∂y=Q(x,y,z)
では、次のような関係を考えます。
dx/P=dy/Q=dz/(xP+yQ)
今回の場合、
P=y/(x+y+2z)、Q=x/(x+y+2z)
なので、
dx/y=dy/x
が得られます。
これを解くと、
x dx=y dy
より、
x²-y²=C₁
という第1積分が得られます。
さらにこの関係を用いてzについて積分することで、一般解は任意関数を含む形で表されます。
まとめ
連立偏微分方程式 ∂z/∂x=y/(x+y+2z)、∂z/∂y=x/(x+y+2z) は、分母に共通する式があるため、変数変換や特性曲線法を使って解く問題です。
特に重要なのは、2つの偏微分の比から関係式を作り、特性曲線を求めることです。
偏微分方程式では、通常の積分のように1回積分するだけでは解けない場合が多く、式の対称性や共通部分を見抜くことが一般解を求めるための重要なポイントになります。
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