2つの自然数の2乗の差を求める問題では、単純に数字を当てはめる方法もありますが、因数分解を利用すると効率よく答えを導くことができます。
この記事では、「Aの2乗とBの2乗の差が5で、A>BのときAの値を求める」という問題について、なぜ答えが3になるのかを途中式付きで詳しく解説します。
問題の条件を式に表す
まず、問題文の条件を数学の式に置き換えます。
Aの2乗とBの2乗の差が5なので、
A2-B2=5
となります。
また、AとBは自然数で、A>Bという条件があります。つまり、AはBより大きい正の整数です。
2乗の差を因数分解する
A2-B2は、平方差の公式を使って因数分解できます。
平方差の公式は、
x2-y2=(x+y)(x-y)
です。
これを使うと、
A2-B2=(A+B)(A-B)
となります。
問題ではこの値が5なので、
(A+B)(A-B)=5
になります。
5の組み合わせを考える
5は素数なので、5になる自然数の組み合わせは、
1×5
だけです。
したがって、
A+B=5
A-B=1
と考えることができます。
この2つの式を足すと、
(A+B)+(A-B)=5+1
となります。
Bが消えるので、
2A=6
となり、
A=3
と求められます。
Bの値も確認して条件を確かめる
A=3と分かったので、A+B=5の式に代入します。
3+B=5
なので、
B=2
となります。
実際に確認すると、
32-22=9-4=5
となり、条件を満たしています。
また、A>Bについても3>2なので問題ありません。
選択肢から考える場合の解き方
選択肢がある問題では、Aの候補を代入して確認する方法もあります。
例えばA=2の場合、Aの2乗は4です。Bは自然数なので、Bの2乗を引いて5にすることはできません。
A=3の場合は、B=2とすると9-4=5になるため条件を満たします。
このように選択肢問題では試す方法もありますが、数学的には平方差の因数分解を使う方が短時間で正確に解けます。
まとめ
この問題のポイントは、2乗の差を見たら平方差の公式を利用することです。
A2-B2=(A+B)(A-B)に変形すると、5を作る組み合わせを考えることができ、
A+B=5、A-B=1
から、2A=6となり、A=3と求められます。
2乗の差に関する問題では、因数分解を使うことで、数字を何度も試さなくても答えを導けるようになります。
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