頂点が(0,1)の放物線の方程式を求める方法｜点(1,1-b)を通る場合の解き方

放物線の方程式を求める問題では、頂点の座標や通る点の情報を利用して式を決定します。特に頂点が与えられている場合は、頂点の形をした二次関数の公式を使うことで簡単に求めることができます。

この記事では、頂点が(0,1)で、点(1,1-b)を通る放物線の方程式を、途中式を含めてわかりやすく解説します。

頂点が分かっている放物線の基本形

二次関数のグラフである放物線は、頂点の座標が分かっている場合、頂点形式を使うと求めやすくなります。

頂点が(a,b)の放物線の方程式は、一般的に次のように表されます。

y=c(x-a)²+b

ここでcは放物線の開き方を決める定数です。cが正なら上に開く放物線、cが負なら下に開く放物線になります。

今回の問題では頂点が(0,1)なので、a=0、b=1を代入します。

すると放物線の式は次の形になります。

y=c(x-0)²+1

つまり、

y=cx²+1

という形になります。この時点ではまだcの値が分からないため、通る点の情報を使って求めます。

この放物線は点(1,1-b)を通るため、x=1、y=1-bを代入します。

式に代入すると、

1-b=c×1²+1

となります。

1-b=c+1なので、両辺から1を引くと、

-b=c

となります。したがって、放物線の開き方を決める定数cは-bです。

c=-bをもとの式y=cx²+1に代入します。

すると、

y=-bx²+1

となります。

これが、頂点が(0,1)で点(1,1-b)を通る放物線の方程式です。

答えが正しいか確認するには、求めた式に頂点と通過点を代入して確かめることができます。

式y=-bx²+1でx=0を代入すると、y=1になります。したがって頂点の座標は(0,1)となり、条件を満たします。

またx=1を代入すると、y=-b+1=1-bとなります。これは問題で指定された点(1,1-b)と一致します。

頂点が分かっている放物線では、頂点形式y=c(x-a)²+bを利用すると簡単に式を作ることができます。

今回の場合は、頂点(0,1)からy=cx²+1と置き、点(1,1-b)を代入することでc=-bを求めました。

したがって答えはy=-bx²+1です。放物線の問題では、まず頂点から式の形を決め、その後に通る点を代入して未知の定数を求める流れを覚えると解きやすくなります。