三角関数の方程式では、cos2xのような2倍角を含む式を見たときに、まず1つの変数に置き換えて考えることが解法の基本になります。
今回はf(x)=cos2x+3cosx+a（0＜x＜2π）が異なる4個の実数解をもつ条件について、cosxを利用した二次方程式への変形と、解の個数を考える方法を解説します。
cos2xをcosxだけの式に変形する
2倍角の公式より、cos2xはcosxを使って表すことができます。
cos2x=2cos²x−1
したがって、与えられた関数は
f(x)=2cos²x−1+3cosx+a
となります。
ここで、cosx=tと置きます。すると、
2t²+3t+a−1=0
というtについての二次方程式になります。
ただし、t=cosxなので、tの範囲には条件があります。
−1≦t≦1
であることを忘れないことが重要です。
cosx=tの値とxの個数の関係
次に、tの値が決まったとき、0＜x＜2πの範囲でcosx=tが何個の解をもつかを考えます。
−1＜t＜1の場合、cosx=tは0＜x＜2πの範囲で2個の解をもちます。
例えばcosx=0の場合、x=π/2、3π/2の2つの値があります。
一方で、t=1の場合はx=0となりますが、範囲が0＜x＜2πなので除外され、解はありません。
また、t=−1の場合はx=πの1個だけになります。
したがって、4個の実数解を得るには、二次方程式が−1＜t＜1の範囲で異なる2つの解をもつ必要があります。
二次方程式の解が2つとも−1と1の間に入る条件
二次方程式
2t²+3t+a−1=0
の2つの解をα、βとします。
この2つの解がともに−1＜t＜1に入れば、それぞれがcosxの値となり、1つにつき2個ずつxの解を生むため、合計4個になります。
まず異なる2つの実数解をもつ条件は判別式Dが正になることです。
D=3²−4×2×(a−1)
=9−8a+8
=17−8a
したがって、
17−8a＞0
a＜17/8
となります。
解が−1と1の間にある条件を求める
二次関数g(t)=2t²+3t+a−1のグラフを考えます。
上に開く放物線なので、区間−1≦t≦1で2つの交点をもつためには、端点での値が正で、頂点の値が負になる必要があります。
まず、t=−1を代入すると、
g(−1)=2−3+a−1=a−2
これが正になるため、
a−2＞0
a＞2
となります。
次に、t=1を代入すると、
g(1)=2+3+a−1=a+4
となります。
a+4＞0
ですが、これはa＞−4なので、a＞2を満たせば自動的に成立します。
さらに頂点の位置を確認します。
頂点のt座標は、
t=−3/(2×2)=−3/4
であり、−1と1の間にあります。
頂点の値は、
g(−3/4)=2×9/16−9/4+a−1
=9/8−18/8−8/8+a
=a−17/8
です。
2つの解を持つためには、
a−17/8＜0
a＜17/8
となります。
異なる4個の実数解をもつaの範囲
ここまでの条件をまとめると、
a＞2
かつ
a＜17/8
を満たす必要があります。
したがって求める範囲は、
2＜a＜17/8
となります。
まとめ
三角関数の方程式で解の個数を調べる問題では、cosxを別の文字に置き換えて、二次方程式として考えることが基本です。
今回の問題では、cosx=tと置くことで、二次方程式の2つの解が−1＜t＜1に入る条件を調べました。
その結果、2つのcosxの値がそれぞれ2つのxの値を生むため、異なる4個の実数解をもつ条件は2＜a＜17/8となります。
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