井戸の中に落ちたダンゴ虫が、昼間に登り夜に滑り落ちるという有名な算数・数学の問題があります。一見すると毎日の移動距離を計算すればよさそうですが、最後の日だけは夜の滑落が発生しない点が重要なポイントです。
この記事では、深さ30mの井戸に落ちたダンゴ虫が、昼に2/3m登り、夜に1/5m滑り落ちる場合、外へ脱出するまで何日かかるのかを分かりやすく解説します。
ダンゴ虫の井戸問題で注意すべきポイント
この種類の問題で多くの人が間違えやすいのは、1日の移動距離だけを計算してしまうことです。
ダンゴ虫は毎日、昼に登ったあと夜に滑り落ちます。しかし、井戸の出口に到達した日は、その夜に再び落ちる必要はありません。そのため、最後の日だけは昼の上昇分だけを考えます。
つまり、最初から「昼と夜の差」で30mを割るのではなく、最後の日に登り切れる位置まで何日かかるかを考えることが大切です。
1日あたりの実際の上昇距離を計算する
ダンゴ虫は昼間に2/3m登ります。そして夜には1/5m滑り落ちます。
1日経過した時点での正味の上昇距離は、以下のようになります。
2/3m − 1/5m = 10/15m − 3/15m = 7/15m
つまり、通常の日では約0.466mずつ井戸の中を上昇していくことになります。
最後の日の前までにどこまで登ればよいか
30mの井戸から脱出するには、最後の昼の移動である2/3mを残しておけば到達できます。
つまり、最後の夜を迎える前には、30m − 2/3mの高さまで到達していればよいことになります。
計算すると、最後の日の開始時点で必要な高さは次の通りです。
30m − 2/3m = 90/3m − 2/3m = 88/3m
約29.33mまで登った時点で、翌日の昼に2/3m登れば井戸の外へ出られます。
何日目に井戸の外へ出られるのか
通常の日は1日あたり7/15mずつ上昇します。
最後の日の前までに88/3m登る必要があるため、以下の計算をします。
(88/3) ÷ (7/15) = (88/3) × (15/7) = 440/7
440/7は約62.86日なので、62日間ではまだ足りません。
したがって、62日間登った後、63日目の昼に最後の2/3mを登って井戸の外へ脱出します。
答えは63日目に脱出できる
この問題の答えは63日です。
途中の62日間では、毎日夜に滑り落ちるため完全には脱出できません。しかし63日目の昼に登った時点で30mに到達するため、その日の夜に滑り落ちることはありません。
もし最後の日にも夜の滑落を計算してしまうと、実際より長い日数になってしまいます。この「最後の1日は滑らない」という考え方が、この問題を解く最大のポイントです。
まとめ
井戸を登るダンゴ虫の問題では、単純に1日の上昇距離だけで計算するのではなく、最後の日の脱出を考える必要があります。
今回の場合は、昼に2/3m登り、夜に1/5m滑るため、通常日は7/15mずつ進みます。そして最後の昼に2/3m登れば脱出できる位置まで計算すると、答えは63日目となります。
この考え方は、カタツムリや登山、貯水槽の水位変化など、増減を繰り返す数学問題にも応用できる重要な考え方です。
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