三角関数の不等式は、方程式のように単純に計算するだけではなく、単位円や三角関数の性質を利用して解の範囲を求める必要があります。この記事では、sinθ>cosθ−1/√2を0≦θ<2πの範囲で解く手順を、途中式を確認しながらわかりやすく解説します。
まず不等式を整理する
与えられた不等式は次の式です。
sinθ>cosθ−1/√2
右辺を左辺へ移項すると、
sinθ−cosθ+1/√2>0
となります。ここで、sinθ−cosθの形を1つの三角関数にまとめることを考えます。
sinθ−cosθを合成する
三角関数の合成を使うと、
sinθ−cosθ=√2sin(θ−π/4)
と表すことができます。
したがって、不等式は
√2sin(θ−π/4)+1/√2>0
となります。
両辺に√2を掛けると、
2sin(θ−π/4)+1>0
つまり、
sin(θ−π/4)>−1/2
となります。
sinの値が−1/2になる角度を確認する
次に、sinx=−1/2となる角度を考えます。
0≦x<2πの範囲では、
x=7π/6、11π/6
でsinx=−1/2になります。
sinxは単位円上で下半分にある範囲で負になりますが、−1/2より大きい範囲は、
0≦x<7π/6、または11π/6<x<2π
となります。
θの範囲に戻す
ここで、x=θ−π/4としていたので、
0≦θ−π/4<7π/6
または
11π/6<θ−π/4<2π
を考えます。
それぞれにπ/4を足します。
1つ目は、
π/4≦θ<7π/6+π/4
となり、
π/4≦θ<14π/12+3π/12=17π/12
です。
2つ目は、
11π/6+π/4<θ<2π+π/4
となります。
通分すると、
22π/12+3π/12<θ<9π/4
つまり、
25π/12<θ<9π/4
です。
ただし、求める範囲は0≦θ<2πなので、9π/4は範囲外です。したがって、2つ目の範囲はありません。
最終的な答え
以上より、0≦θ<2πにおける解は、
π/4≦θ<17π/12
となります。
三角関数の不等式では、まず合成して1つのsinやcosの形に変換し、その後で単位円を使って範囲を判断することがポイントです。
三角関数の不等式を解くときのポイント
sinθやcosθが含まれる不等式では、式変形だけで答えを出そうとすると範囲を間違えやすくなります。
特に、sinx>−1/2のような形になった場合は、sinのグラフや単位円を利用して、どの角度で条件を満たすのかを確認することが重要です。
また、θの範囲が0≦θ<2πと指定されている場合は、最後に必ずその範囲内に解を戻すことを忘れないようにしましょう。
まとめ｜三角関数の不等式は合成と単位円が基本
sinθ>cosθ−1/√2のような三角関数の不等式は、sinθ−cosθを合成することで解きやすい形に変えることができます。
今回の場合は、sin(θ−π/4)>−1/2という形に変換し、単位円で範囲を判断することで、解はπ/4≦θ<17π/12と求められます。
三角関数の不等式を解く際は、「式を整理する→三角関数を合成する→単位円で範囲を確認する」という流れを身につけると、さまざまな問題に対応できるようになります。
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