カルノー図は、論理式を視覚的に整理して、より簡単な形へ変換するために使われる手法です。ブール代数だけでは見つけにくい項の重なりを図で確認できるため、論理回路の設計やデジタル回路の学習で広く利用されています。
この記事では、2つの論理式を例にして、カルノー図を使った簡単化の考え方と最終的な答えを分かりやすく解説します。
カルノー図で論理式を簡単化する基本的な考え方
カルノー図では、論理式に含まれる変数の組み合わせをマス目に配置し、値が1になる部分をまとめることで簡単化します。
まとめるときは、1のマスを2個、4個、8個というように必ず2のべき乗個でグループ化します。また、隣り合ったマスを大きなグループにするほど、より簡単な式を得ることができます。
今回の問題では変数が3個（x、y、z）なので、3変数カルノー図を使用します。
式1：F = x + x’y’ + yz の簡単化
まず、与えられた論理式を確認します。
F = x + x’y’ + yz
各項が1になる条件を考えてカルノー図へ配置します。
| 項 | 条件 |
|---|---|
| x | x=1のすべてのマス |
| x’y’ | x=0、y=0のマス |
| yz | y=1、z=1のマス |
カルノー図上でグループ化すると、x=1の範囲はそのまま大きなグループとしてまとめることができます。
また、x’y’の部分はx=0、y=0の領域を表しますが、yzの項との関係を確認すると一部の項が吸収されます。
ブール代数でも確認すると、吸収律により簡単化できます。
F = x + x’y’ + yz
x + x’y’ の部分について、恒等式 a + a’b = a + b を利用すると、
x + x’y’ = x + y’
したがって、
F = x + y’ + yz
さらに y’ + yz は、同じ恒等式から、
y’ + yz = y’ + z
となるため、最終的に、
F = x + y’ + z
となります。
式2：F = x’ + x’z + xyz の簡単化
次に2つ目の式を考えます。
F = x’ + x’z + xyz
それぞれの項を見ると、x’zはx’の条件に含まれています。
つまり、x’が1ならば必ずx’zの一部も含まれます。そのため、吸収律によって、
x’ + x’z = x’
となります。
したがって式は、
F = x’ + xyz
になります。
ここで、x’ + xyz に対して恒等式 a + a’bc = a + bc を利用すると、
x’ + xyz = x’ + yz
となります。
よって最終的な簡単化結果は、
F = x’ + yz
です。
カルノー図で確認するときのポイント
今回の2つの式では、どちらも不要な項が含まれていました。カルノー図では、重複している範囲や大きなグループに吸収できる部分を視覚的に確認できます。
例えば、式2のx’zはx’という大きなグループの中に完全に含まれるため、カルノー図では追加して記入しても新しいグループを作る必要がありません。
このように、カルノー図では「小さいグループを残さず、できるだけ大きなグループを作る」ことが簡単化の基本になります。
ブール代数とカルノー図を組み合わせる学習方法
カルノー図は図による整理方法ですが、最終的な確認にはブール代数の公式が役立ちます。
特に覚えておきたい公式は、吸収律です。
A + AB = A
A(A+B)=A
これらを使うと、カルノー図で見つけた不要な項を式の形でも確認できます。
論理回路の設計では、カルノー図で回路を小さくし、その後ブール代数で確認する流れがよく使われます。
まとめ｜カルノー図による簡単化の答え
今回の論理式をカルノー図の考え方で整理すると、以下のように簡単化できます。
1. F = x + x’y’ + yz → F = x + y’ + z
2. F = x’ + x’z + xyz → F = x’ + yz
カルノー図では、1になる場所を大きくまとめることで不要な項を削除できます。ブール代数の吸収律などと合わせて使うことで、複雑な論理式でも効率よく簡単化できるようになります。
コメント