log₂32＝5ならlog₃₂2＝1/5になる？対数の逆数の関係をわかりやすく解説

対数の計算では、底と真数を入れ替えたときに答えがどのように変化するのかが重要なポイントになります。特に「log₂32＝5」と分かっている場合、「log₃₂2はいくつになるのか」と疑問に思う人は多くいます。

この記事では、対数の基本的な意味から、底と真数を入れ替えた場合に逆数になる理由、具体的な計算方法まで分かりやすく解説します。

対数logの意味を確認する

対数は、ある数を何乗すれば別の数になるかを表す計算です。

例えば、log₂32＝5という式は、「2を何乗すると32になるか」を表しています。

つまり、次のように書き換えることができます。

2⁵＝32

このため、log₂32の答えは5になります。

対数には、底と真数を入れ替えると値が逆数になるという性質があります。

一般的に、次の関係が成り立ちます。

logₐb＝1／log_ba

これは、指数の関係から説明できます。

例えば、log₂32＝5ということは、2⁵＝32という意味です。逆に考えると、32を何乗すれば2になるかを考えることになります。

32の1/5乗を考えると、

32^(1/5)＝2

となるため、log₃₂2＝1/5になります。

与えられた式がlog₂32＝5の場合、底と真数を交換した式はlog₃₂2です。

対数の逆数の公式を使うと、

log₃₂2＝1／log₂32

となります。

ここでlog₂32＝5を代入すると、

log₃₂2＝1／5

になります。

したがって、底と真数を入れ替えた場合は、答えをそのまま反転させればよいことが分かります。

底と真数を入れ替えれば必ず逆数になるという性質は便利ですが、対数の条件を満たしている必要があります。

対数では、底は0より大きく1ではない数、真数は正の数である必要があります。

高校数学で扱う通常の対数計算では、この条件を満たしているものとして考えることが多いですが、性質の意味を理解しておくと応用問題にも対応しやすくなります。

対数には底を変換する公式があります。

logₐb＝log_cb／log_ca

この公式を使っても、底と真数を入れ替えると逆数になることを確認できます。

例えば、log₂32を常用対数で表すと、

log₂32＝log32／log2

となります。

逆にlog₃₂2は、

log2／log32

となるため、確かに互いに逆数の関係になっています。

log₂32＝5という式は、「2を5乗すると32になる」という意味です。

対数では、底と真数を入れ替えると値は逆数になるため、

log₃₂2＝1／log₂32＝1／5

となります。

この性質を覚えておくと、対数の計算問題で底と真数が入れ替わった問題でも、すばやく答えを求めることができます。