log(x)の積分方法を解説｜xlogxの微分を利用した部分積分の考え方

logの積分は、初めて学ぶと「どうしてこの形になるのか」と疑問に感じやすい計算の一つです。特に、xlogxの微分を利用する方法や、式変形をどのように考えるのかで迷う人が多くいます。

この記事では、log xの積分を解くときの基本的な考え方や、なぜxlogxの微分を利用するのか、部分積分との関係についてわかりやすく解説します。

log xの積分はそのままでは解きにくい

まず、代表的な積分として次の形を考えます。

∫log x dx

多項式の積分であれば次数を下げる公式を使えますが、log xには直接使える公式がありません。そのため、別の形に変形して考える必要があります。

ここで重要になるのが「積の微分」の逆を利用するという考え方です。つまり、log xを単独で見るのではなく、何かの積の微分から元の形を作れないかを考えます。

xlog xを微分すると、積の微分法則より次のようになります。

(xlog x)’=1×log x+x×(1/x)

つまり、

(xlog x)’=log x+1

となります。この結果を見ると、xlog xの微分には求めたいlog xが含まれていることが分かります。

そのため、log xを積分するときは、xlog xを微分した形を利用して式を作ることができます。

実際には、log xの積分は部分積分を利用して計算します。

部分積分の公式は、

∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx

です。

∫log x dxでは、log xを微分すると1/xになり、1を積分するとxになるため、次のように設定します。

役割	設定
微分するもの	log x
積分するもの	1

すると、

∫log x dx=xlog x-∫x×(1/x)dx

となります。

右辺を整理すると、

∫log x dx=xlog x-∫1dx

なので、

∫log x dx=xlog x-x+C

となります。

log xの積分では、「xlogxを微分して答えを作る」というよりも、「微分したときにlog xが出てくる形を探す」という考え方が重要です。

積分は微分の逆操作なので、微分した結果が目的の式になるような関数を探します。その結果、xlogxが候補になります。

例えば、微分してx²になる関数を探すときにx³を考えるのと同じように、log xを含む関数を探すときにxlogxが登場します。

logの積分は、単純な式変形だけで解くものではありません。部分積分という考え方を使い、積分しやすい形へ変換していると考えると理解しやすくなります。

暗記する場合も、

という流れを覚えると、公式として丸暗記する必要がなくなります。

log xの積分では、xlogxの微分を利用する考え方が重要になります。ただし、単純にxlogxを使うのではなく、部分積分によってlog xを含む形を作ることが目的です。

積分は「どの関数を微分すると目的の形になるか」を逆算する問題です。xlogxの微分でlog xが現れる理由を理解すれば、logの積分は単なる暗記ではなく、自然な流れとして解けるようになります。