アルキメデスの原理の証明で数列を使う理由とは？上限の存在だけでは不十分な理由を解説

アルキメデスの原理の証明では、実数の連続性公理によって上限の存在を利用する方法がよく登場します。その中で「集合が上に有界なら上限が存在するのだから、なぜわざわざ数列の単調増加性や極限まで考える必要があるのか」と疑問に感じることがあります。

この記事では、アルキメデスの原理の証明において数列を導入する意味と、単に上限の存在を述べるだけでは矛盾を導けない理由について、数学的な流れに沿って解説します。

アルキメデスの原理とは何を示す命題なのか

アルキメデスの原理とは、簡単に言えば「どんなに大きな実数でも、自然数を十分大きく取ればそれを超えることができる」という性質です。

つまり、任意の実数 a に対して、ある自然数 n が存在して n>a となることを示します。この性質は実数の基本的な性質の一つであり、解析学や数列の理論でも重要な役割を持っています。

証明では通常、反対に「どんな自然数 n を選んでも n≤a である」と仮定し、その仮定から矛盾を導きます。

アルキメデスの原理を背理法で証明する場合、命題の否定を仮定します。例えば、ある正の実数 a が存在して、すべての自然数 n に対して n≤a だとします。

すると自然数全体の集合 N は上に有界になります。つまり、a が自然数全体の上界になります。

ここで実数の連続性公理を使えば、集合 N は上限 s=sup N を持つことが分かります。この点までは質問にある通り、数列を持ち出さなくても到達できます。

重要なのは、「上限が存在する」という事実だけでは、まだ矛盾ではないという点です。実際、上に有界な集合には普通に上限が存在します。

例えば集合 {1,2,3,4} は上に有界で、上限は4です。また、集合 {x∈R｜x<5} も上に有界で、上限は5になります。

したがって、「集合が上に有界だから上限がある」というだけでは、アルキメデスの原理の否定が間違っていることは示せません。必要なのは、その上限 s が存在すると仮定した結果、s より小さいものがまだ集合の中に入ってしまうという矛盾を作ることです。

よく使われる証明では、a_n=na という数列を考えます。そして、否定を仮定すると、この数列は上に有界になります。

さらに a_n は単調増加列なので、その上限を α と置くことができます。すると、α が数列の最大の境界のような役割を持つことになります。

しかし、α は上限なので、αより小さい値 α- a などは上界ではありません。そのため、ある自然数 n について a_n>α-a が成立します。すると次の項である a_(n+1)=a_n+a は α を超えてしまいます。

これは α が上界であることと矛盾します。この矛盾によって、最初の否定が誤りであり、アルキメデスの原理が成立すると分かります。

単調増加列と極限を利用する証明は、単に上限の存在を確認するためではありません。上限という存在を利用して、「それより大きな要素を作る」という操作を可能にするためです。

数列を使うことで、自然数を順番に増やしていったときの変化を明確に表現できます。特に a_(n+1)=a_n+a という関係が、上限を超える要素を作る決定的な部分になります。

つまり数列は証明を複雑にするためではなく、上限の性質を具体的に利用するための道具として導入されています。

実は、単調増加列の極限を使わなくても、上限の性質だけを利用してアルキメデスの原理を証明することは可能です。

例えば、自然数全体の上限を s とした場合、「s-1 は上界ではない」という上限の性質を使えば、ある自然数 n が s-1 より大きいことを示せます。その結果、n+1 が s を超えてしまい矛盾になります。

この方法では数列の極限は登場しません。しかし、本質的にはどちらも「上限の定義から、さらに大きな要素を作る」という同じ考え方を利用しています。

アルキメデスの原理の証明で数列 a_n=na を考える理由は、単に上限の存在を確認するためではありません。

上限の存在だけでは集合が存在することしか分かりません。そこから矛盾を導くには、上限より大きな要素が作られることを示す必要があります。

数列の単調増加性や極限を利用する方法は、その矛盾を分かりやすく表現するための一つの手段です。したがって、数列を使う証明は冗長なのではなく、上限の性質を効果的に活用するための工夫だと言えます。