2つの放物線で囲まれた図形の面積を求める問題では、まず交点を求めて積分区間を決定し、その後に上側の関数から下側の関数を引いて積分することが基本になります。特に文字aを含む場合は、最後に関数の最大値を求める問題へつながるため、式の整理が重要です。
この記事では、C₁とC₂で囲まれる図形の面積を求める流れと、aが変化するときの最大値の求め方を順番に解説します。
2つの放物線の位置関係を確認する
与えられた放物線は、
C₁：y={(a+1)/4}x²-1/2
C₂：y=-{(a+1)/(4a)}x²+1/2
です。aは正の実数なので、C₁は下に1/2だけ移動した上に開く放物線、C₂は上に1/2だけ移動した下に開く放物線になります。
2つの放物線の交点を求めるために、C₁とC₂の式を等しくします。
{(a+1)/4}x²-1/2=-{(a+1)/(4a)}x²+1/2
両辺を整理すると、
{(a+1)/4}x²+{(a+1)/(4a)}x²=1
となります。
交点のx座標を求める
x²の係数をまとめると、
(a+1)/4 × (1+1/a)x²=1
ここで、
1+1/a=(a+1)/a
なので、
(a+1)²/(4a)x²=1
となります。
したがって、
x²=4a/(a+1)²
より、交点のx座標は、
x=±2√a/(a+1)
になります。
この2点の間で、C₂が上側、C₁が下側になるため、この区間で面積を積分します。
放物線で囲まれた面積を積分で求める
求める面積Sは、上の曲線C₂から下の曲線C₁を引いたものです。
S=∫(C₂-C₁)dx
積分範囲は、
-2√a/(a+1) から 2√a/(a+1)
です。
まず差を計算します。
C₂-C₁={-(a+1)/(4a)x²+1/2}-{(a+1)/4x²-1/2}
=-(a+1)(1+1/a)/4 x²+1
=-(a+1)²/(4a)x²+1
となります。
したがって、
S=∫[-2√a/(a+1)から2√a/(a+1)]{1-(a+1)²/(4a)x²}dx
を計算します。
対称性を利用して積分を簡単にする
積分する関数はx²だけを含む偶関数なので、左右対称になります。そのため、
S=2∫0から2√a/(a+1){1-(a+1)²/(4a)x²}dx
として計算できます。
積分すると、
S=2[x-(a+1)²/(12a)x³]₀^(2√a/(a+1))
となります。
x=2√a/(a+1)を代入すると、
第1項は2√a/(a+1)、第2項は(2√a)/(3(a+1))になります。
よって、
S=2{2√a/(a+1)-2√a/(3(a+1))}
=2×4√a/(3(a+1))
=8√a/{3(a+1)}
となり、(1)の答えが得られます。
aが変化するとき面積Sを最大にする方法
次に、
S=8√a/{3(a+1)}
の最大値を求めます。
定数8/3は最大値に影響しないため、
f(a)=√a/(a+1)
の最大値を考えます。
ここでt=√aとおくと、a=t²となり、tは正の数です。
すると、
f(t)=t/(t²+1)
になります。
相加平均を使って最大値を求める
t/(t²+1)を変形すると、
t²+1≧2t
より、
t/(t²+1)≦1/2
となります。
等号成立条件は、
t²=1
つまり、
t=1
です。
t=√aなので、
a=1
のとき最大になります。
したがって、
Sの最大値は、
S=8×1/{3(1+1)}
=4/3
となります。
まとめ
2つの放物線で囲まれる面積を求める場合は、まず交点を求め、上側の関数から下側の関数を引いて積分することが基本です。
今回の問題では、交点が±2√a/(a+1)となり、対称性を利用することで積分を簡単に処理できます。その結果、面積はS=8√a/{3(a+1)}となります。
さらにaの最大値問題では、√aを変数と置き換えることで相加平均の関係を利用でき、最大値4/3を求めることができます。文字を含む積分問題では、式変形によって最大値を求めやすい形に整理することが重要です。
コメント