Desmosで複雑な数式を入力すると、中央にきらめく模様や、円のような形状、特定の方向に伸びたパターンが現れることがあります。一見すると表示のバグや計算ミスのように見える場合がありますが、多くの場合は数式が持つ性質によって自然に生じた図形です。
この記事では、t=(x+y)(x-y)やx²+y²=max(sin(t²),cos(t²))*100のような式から生まれる模様について、なぜ円状のパターンや不思議な境界が現れるのかを数学的に整理して解説します。
入力された式の意味を整理する
まず、t=(x+y)(x-y)という式は、展開するとt=x²-y²になります。
つまり、この式はxとyの位置から値tを決める関数であり、平面上の各点ごとに異なる値を持ちます。特にx²-y²は双曲線型の対称性を持つ関数で、x軸方向やy軸方向ではなく、斜め方向に特徴的な変化をします。
次に、x²+y²は原点からの距離の2乗を表します。これは円の方程式でよく登場する量であり、中心から遠ざかるほど値が大きくなります。
x²+y²が円を作る理由
x²+y²=r²という式は、原点から距離rにある点をすべて表すため、円になります。
例えばx²+y²=100なら、原点から10離れた場所にある点の集合なので半径10の円になります。
そのため、Desmosでx²+y²を含む式を見ると、基本的には円形の構造が現れやすくなります。ただし、右辺が一定ではなくsinやcosによって変化する場合、完全な円ではなく波打った円や花びら状の模様になります。
sin(t²)とcos(t²)が作る細かな模様
sin(t²)やcos(t²)の特徴は、tが大きくなるほど振動の間隔が細かくなることです。
通常のsin(t)では一定間隔で波が繰り返されますが、sin(t²)では入力値が急激に増加するため、原点から離れるほど細かい縞模様になります。
例えるなら、中心部分ではゆっくりした波ですが、外側へ行くほど波が密集していくため、きらきらした模様や細いリングのような形が現れます。
max(sin(t²),cos(t²))による境界の変化
max(a,b)は、2つの値のうち大きい方を選ぶ関数です。
今回の場合、sin(t²)とcos(t²)を比較して大きい方だけを採用しています。そのため、単純な正弦波ではなく、ところどころでsin側とcos側が切り替わる複雑な模様になります。
この切り替わり部分では形状が急に変化するため、Desmos上では線や点が密集したように見え、バグのような印象を受けることがあります。
「x²+y²=√(x²+y²)²」のように見える理由
表示された模様がx²+y²=√(x²+y²)²に似ているように感じる理由は、どちらも距離r=x²+y²に関係する円対称の性質を持つためです。
ただし、今回の式ではx²+y²そのものが固定値になるわけではありません。右辺がsinやcosによって変化するため、正確には「半径が場所によって変化する円」のような図形になります。
数学的には、これは極座標で表されるバラ模様や渦巻き模様に近い考え方です。見た目が円に近くなるのは、距離を表すx²+y²が含まれているためです。
Desmosで複雑な図形を見るときのポイント
Desmosの表示は基本的に数式を正確に計算した結果であり、奇妙な模様が出たからといってすぐにバグとは限りません。
特に三角関数、絶対値、最大値関数、二次式を組み合わせると、人間の目にはランダムに見えるほど複雑な図形が簡単に作られます。
確認するときは、変数を一つずつ変えてみる方法が有効です。例えば100という倍率を小さくしたり、t²をtに変更したりすると、どの部分が模様を作っているのか理解しやすくなります。
まとめ｜不思議な模様はバグではなく数式の性質によるもの
Desmosで現れるきらきらした模様や円状のパターンは、x²+y²が持つ円対称性と、sin(t²)、cos(t²)の急速な振動、max関数による切り替えが組み合わさって生じています。
一見すると表示の不具合や計算ミスのように見えても、実際には数式が作り出した複雑な幾何学模様である場合が多くあります。
グラフを観察するときは、見た目だけで判断するのではなく、「どの項が形を決めているのか」を分解して考えることで、Desmosの面白さや数学的な構造をより深く理解できます。
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