集合の重なりを表す式が分かる！3教科の得意な人数を求める包含除法の考え方

複数の条件に当てはまる人数を求める問題では、同じ人を何回数えているかを考えることが重要です。特に「国語が得意」「数学が得意」「英語が得意」のようにグループが重なる場合、単純に人数を足すだけでは正しい答えになりません。

この記事では、3つの集合が重なるときに使う包含除法の考え方を使って、なぜ「-18-15-15+x」のような式になるのかを分かりやすく解説します。

3つのグループがある場合は重複して数えている部分に注意する

今回の問題では、生徒を「国語が得意な人」「数学が得意な人」「英語が得意な人」という3つのグループに分けて考えます。

例えば、国語と数学の両方が得意な人は、国語の人数にも数学の人数にも含まれています。そのため、国語の人数と数学の人数を単純に足すと、その人たちは2回数えられてしまいます。

集合を図で表すと、円が重なっている部分が存在します。この重なりを調整するために、足し算だけではなく引き算が必要になります。

例えば、国語が得意な人が86人、数学が得意な人が40人いて、その両方が得意な人が18人いるとします。

このとき、国語と数学が得意な人の合計を求める式は、86+40ではありません。なぜなら、両方得意な18人が2回数えられているからです。

したがって、86+40-18=108となります。この「重複して数えた部分を1回分だけ引く」という考え方が、3つの集合でも基本になります。

3つの科目になると、重なり方がさらに複雑になります。国語と数学、国語と英語、数学と英語の2科目が得意な人をそれぞれ引く必要があります。

問題の式でいうと、国語と数学が得意な18人、国語と英語が得意な15人、数学と英語が得意な15人を引いています。

しかし、ここで注意が必要です。3教科すべてが得意な人は、3つの重複部分すべてに含まれています。そのため、3回引かれてしまいます。

3教科すべてが得意な人数をx人とします。例えば、国語・数学・英語のすべてが得意な人が1人いた場合を考えます。

最初の足し算では、その1人は国語、数学、英語の3か所で数えられるため、3回カウントされています。

その後、国語と数学、国語と英語、数学と英語の重複を引くことで、この1人は3回分引かれます。つまり、最初の3回のカウントが0回になってしまいます。

しかし、本当はその人は「得意な人」として1人分数えたいので、最後にもう一度足す必要があります。これが「+x」の理由です。

今回の問題では、どの科目も得意でない人が20人いるため、少なくとも1教科が得意な人は140-20=120人です。

国語が得意な人86人、数学が得意な人40人、英語が得意な人30人を足すと、86+40+30=156人になります。

しかし、この156人の中には重複して数えられている人がいます。そのため、2教科が得意な人数を引き、3教科すべてが得意な人数を最後に足します。

つまり、86+30+40-18-15-15+x=120という式は、単なる計算ではなく「何回数えられた人を何回戻すか」を整理したものなのです。

3つの集合A、B、Cがある場合、すべてを合わせた人数は次のように求めます。

A∪B∪Cの人数 = Aの人数 + Bの人数 + Cの人数 – ABの人数 – ACの人数 – BCの人数 + ABCの人数

最後に3つすべての重なりを足す理由は、2つずつの重なりを引いたことで、3重に数えられていた部分を消しすぎてしまうためです。

「-18-15-15+x」という部分は、重複して数えた人数を正しく調整するためのものです。

2つの科目が得意な人を引くことで二重に数えた部分を修正し、その結果として3教科すべてが得意な人を引きすぎてしまうため、最後にもう一度足しています。

集合の人数問題では、式を暗記するだけではなく「その人が何回数えられているか」を考えると、包含除法の仕組みを自然に理解できます。