高校入試で座標平面の距離の公式は使える？2点間の距離の求め方と注意点を解説

高校入試の数学では、座標平面上にある2点間の距離を求める問題がよく出題されます。その際に「√(a-c)²+(b-d)²」という公式を使ってもよいのか、また入試で認められるのか気になる人も多いでしょう。

この公式は数学で広く使われている考え方ですが、高校入試では使い方や理由を理解しておくことが大切です。この記事では、座標平面上の線分の長さを求める公式の意味や、高校入試での利用方法について詳しく解説します。

座標平面上の2点間の距離を求める公式とは

座標平面上で2点A(a,b)、B(c,d)がある場合、2点間の距離は次の公式で求めることができます。

AB＝√((a-c)²+(b-d)²)

これは、横方向の距離と縦方向の距離から直角三角形を作り、三平方の定理を利用して求めたものです。

例えば、A(1,2)、B(5,5)の場合、横の差は4、縦の差は3なので、距離は√(4²+3²)=√25=5となります。

基本的には、高校入試でもこの考え方を使って解くことは可能です。ただし、注意が必要なのは、問題を解く過程でどのような考え方を使ったかが採点対象になる場合があることです。

高校入試の数学では、答えだけではなく途中式や解法の説明を見ることがあります。そのため、公式を突然書くだけではなく、必要に応じて「三平方の定理を利用した」と分かる形にしておくと安全です。

特に中学校数学の範囲では、座標上の距離を求める公式として暗記するよりも、直角三角形を作って三平方の定理で求める方法が基本になります。

距離の公式は、高校数学で突然登場するものではなく、中学校で学ぶ三平方の定理から導くことができます。

2点A(a,b)、B(c,d)を結ぶ線分を考えると、横方向の長さは|a-c|、縦方向の長さは|b-d|になります。この2つを辺とする直角三角形を作ると、斜辺が求めたい距離になります。

したがって、三平方の定理より「距離²＝横の長さ²＋縦の長さ²」となり、距離の公式が導かれます。

高校入試対策では、公式を覚えて素早く計算することも大切ですが、なぜその公式になるのか理解しておくと応用問題に対応しやすくなります。

例えば、座標上に円や図形が登場する問題では、単純に公式へ代入するだけではなく、どの2点の距離を求めるべきか判断する力が必要になります。

公式だけを暗記していると、少し形を変えられた問題で迷ってしまうことがあります。一方で、三平方の定理から考えられる人は、公式を忘れても自分で導くことができます。

例えば、点A(2,3)と点B(8,7)の距離を求める問題では、次のように書くことができます。

「横の長さは6、縦の長さは4だから、三平方の定理よりAB²=6²+4²=52。よってAB=√52=2√13」

このように、公式を使ったとしても、その背景となる考え方が分かる書き方をすると、採点する側にも意図が伝わります。

座標平面上の2点間の距離を求める「√(a-c)²+(b-d)²」という公式は、数学的には正しい方法であり、高校入試でも利用できる考え方です。

ただし、中学校数学の範囲では、この公式は三平方の定理から導かれるものなので、公式だけを丸暗記するよりも仕組みを理解しておくことが重要です。

入試本番では、公式を使う場合でも途中式や理由を丁寧に書くことで、より確実に得点につなげることができます。