連立方程式の代入法では、「どの式をどこに入れるのか」が分かりにくく感じることがあります。特に、文字の前に係数が付いている式では、途中で数字を足してしまったり、式全体を入れ替えてしまったりする間違いが起こりやすいです。
この記事では、連立方程式で代入するときの正しい考え方を、具体的な式を使って解説します。代入の意味を理解すると、似たような問題でも迷わず計算できるようになります。
連立方程式の代入法とは何をしているのか
代入法とは、一方の式で表した文字の値を、もう一方の式に置き換える方法です。簡単に言うと、「同じものを別の書き方に変更する」作業です。
例えば、x=3という式がある場合、別の式の中にあるxをすべて3に置き換えることができます。これは、xと3が同じ意味だからです。
連立方程式では、まず片方の式からxやyを単独にして、それをもう一つの式に代入します。このとき重要なのは、式の一部分ではなく、文字の値そのものを置き換えるという点です。
2x=3y+1を代入するときの正しい考え方
次の連立方程式を考えます。
2x-5y=7
2x=3y+1
ここでは①の式に②を代入します。①には「2x」というまとまりがあります。
②の式を見ると、2xは3y+1と同じという意味なので、①の中にある2xをそのまま3y+1に置き換えます。
つまり、
2x-5y=7
の2xの部分を、
3y+1
に変更します。
すると、
3y+1-5y=7
となります。
なぜ6y+2-5y=7ではないのか
間違えやすいポイントは、②の式の両辺を2倍してしまうことです。
②の式は、
2x=3y+1
です。この式から分かるのは「2xという量が3y+1と等しい」ということです。
もし6y+2を使う場合、それは3y+1を2倍したものになります。
(3y+1)×2=6y+2
となりますが、これは元の2xとは一致しません。なぜなら、2xを代入するときに必要なのは、2xと同じ値である3y+1だからです。
代入では、式を勝手に変形して別の大きさにしてはいけません。
式のまとまりを見ることが代入のポイント
数学では、文字だけを見ると間違いやすいため、「何と何が同じなのか」を確認することが大切です。
今回の場合、置き換える対象はxではなく2xです。ここが大きなポイントになります。
例えば、
3x=12
という式があった場合、別の式にある3xを12に置き換えることができます。しかし、xだけを12に置き換えることはできません。
同じように、2x=3y+1ならば、「2x」というセットを「3y+1」に置き換えると考えると理解しやすくなります。
実際に最後まで解いて確認してみる
正しく代入すると、
3y+1-5y=7
となります。
yをまとめると、
-2y+1=7
-2y=6
y=-3
になります。
このように、代入後は通常の一次方程式として計算していきます。
まとめ｜代入法では同じ値のまとまりを置き換える
連立方程式の代入法で大切なのは、「同じ値を持つ部分を、そのまま置き換える」という考え方です。
今回の問題では、2xと3y+1が等しいため、①の2xを3y+1に置き換えます。6y+2になるのは式を2倍して別の値にしているため、正しい代入ではありません。
代入問題で迷ったときは、「今置き換えようとしている部分は、元の式と本当に同じ大きさか」を確認すると、計算ミスを防ぐことができます。
コメント