三角関数の式変形では、一見すると複雑に見える式でも、加法定理や三角関数の性質を利用すると簡単に整理できる場合があります。特にcos(x+π/3)のように角度がずれている式は、展開するだけでなく、形を見抜くことが重要です。
この記事では、cos(x+π/3)=√3-cos(x)のような式をどのように考えると解きやすいのか、単なる計算方法だけでなく、スマートに処理する考え方も解説します。
まずはcos(x+π/3)を加法定理で展開する
角の和の余弦には加法定理があります。
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
これを使って、α=x、β=π/3とすると、
cos(x+π/3)=cosxcos(π/3)−sinxsin(π/3)
となります。
ここで、cos(π/3)=1/2、sin(π/3)=√3/2なので、
cos(x+π/3)=1/2cosx−√3/2sinx
と変形できます。
したがって元の式は、
1/2cosx−√3/2sinx=√3−cosx
となります。
cosxの項をまとめて式を整理する
次にcosxを左辺に集めます。
1/2cosx+cosx−√3/2sinx=√3
cosxの係数をまとめると、
3/2cosx−√3/2sinx=√3
両辺を2倍すると、
3cosx−√3sinx=2√3
となります。
ここまで来ると、単純な方程式ではなく、三角関数の合成の形になっていることが分かります。
三角関数の合成を使った美しい解き方
式の形をよく見ると、
3cosx−√3sinx
は、Acosx+Bsinxの形になっています。この形は1つの余弦にまとめることができます。
Acosx+Bsinx=Rcos(x−θ)
という形を利用します。
今回は、
R=√(3²+(−√3)²)=√12=2√3
となります。
したがって、
3cosx−√3sinx=2√3cos(x+π/6)
と表せます。
元の式は、
2√3cos(x+π/6)=2√3
なので、両辺を2√3で割ると、
cos(x+π/6)=1
になります。
最後はcosθ=1の基本形に持ち込む
cosθ=1となる条件は、
θ=2nπ（nは整数）
です。
したがって、
x+π/6=2nπ
より、
x=2nπ−π/6
となります。
このように、最初からxを別の文字に置き換えるよりも、三角関数の合成を利用すると非常にきれいに解くことができます。
xを置く方法よりも形を見ることが重要
三角関数では、難しそうな式を見ると「何か置換できないか」と考えたくなります。しかし、今回のような問題では置換よりも、角度の加法定理や合成公式を使う方が自然です。
特に、cos(x+π/3)のような形が出た場合は、まず加法定理で展開するか、別の形にまとめられないかを見る習慣をつけると解法が見えやすくなります。
三角関数の問題では、計算力だけでなく「この形はどの公式につながるか」を判断する力が重要になります。
まとめ：cos(x+π/3)=√3−cosxは三角関数の合成で解くと美しい
cos(x+π/3)=√3−cosxは、加法定理で展開した後、cosxとsinxをまとめて三角関数の合成を利用すると簡単に解くことができます。
答えを求めるだけなら展開して整理する方法でも十分ですが、式の形を見て「これは合成できる」と気づけるようになると、三角関数の問題をより短時間で解けるようになります。
置換を探す前に、加法定理・倍角公式・三角関数の合成など、基本的な変形パターンを思い出すことが、スマートな解法につながります。
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