素数の性質を証明する方法｜mnが素数pの倍数ならmまたはnがpの倍数になる理由

整数の性質を扱う数学では、「ある数が素数で割り切れるなら、どのような条件が成り立つのか」を考える場面が多くあります。特に「mとnの積mnが素数pの倍数なら、mまたはnはpの倍数である」という性質は、素数の重要な特徴の一つです。

この記事では、この性質がなぜ成り立つのかを、背理法や最大公約数の考え方を使って分かりやすく解説します。

問題の内容を整理する

条件は、m,nが整数であり、積mnが素数pの倍数であるということです。つまり、ある整数kを使って、次のように書けます。

mn=pk

ここでpは素数です。証明したいことは、「mがpの倍数である」または「nがpの倍数である」ということです。

つまり、積の中に素数pが含まれているなら、その素数pは必ずどちらか一方の因数に含まれていることを示します。

証明では、反対のことを仮定して矛盾を導きます。これを背理法といいます。

まず、mもnもpの倍数ではないと仮定します。

すると、mはpで割り切れず、nもpで割り切れません。つまり、mとp、nとpの間には共通の因数がありません。

この状態で、mnがpの倍数になるかを考えます。

pが素数であり、mがpの倍数でない場合、mとpの最大公約数は1になります。

つまり、mとpは互いに素です。このとき重要になるのが、ユークリッドの補題と呼ばれる次の性質です。

「素数pが積abを割り切るならば、pはaまたはbのどちらかを割り切る」

この性質は、まさに今回証明したい内容そのものです。これを使うことで、素数が積の中に現れる場所を特定できます。

mnがpの倍数なので、pはmnを割り切ります。

つまり、p｜mnです。

ここでpは素数なので、素数の性質により、pはmまたはnを割り切らなければなりません。

したがって、

p｜m または p｜n

となり、「mまたはnはpの倍数である」ことが証明されます。

この性質が成立するのは、pが素数だからです。もしpが合成数なら同じことは起こりません。

例えば、6を考えます。4×3=12ですが、12は6の倍数です。しかし、4も3も6の倍数ではありません。

つまり、「積がある数の倍数なら、その数がどちらか一方の因数に入っている」という性質は、素数の場合に限って成立します。

この違いが、素数が数学で特別に扱われる理由の一つです。

例えばp=5、m=10、n=7の場合を考えます。

mn=70であり、70は5の倍数です。また、m=10は5の倍数になっています。

一方、m=3、n=20の場合でもmn=60で、5の倍数ではありません。このように、積が素数の倍数になるためには、どちらかの数がその素数を含んでいる必要があります。

m,nが整数で、mnが素数pの倍数であるとき、pはmまたはnのどちらかを割り切ります。

これは素数が「分解できない数」であり、積の中に含まれる場合は必ずどちらか一方の因数に現れるという性質を持つためです。

この性質はユークリッドの補題として知られており、整数論や素因数分解、最大公約数の証明など、数学の多くの場面で利用されています。