分数の条件問題では、「なぜ分母には最大公約数、分子には最小公倍数を使うのか」と疑問に感じることがあります。特に、複数の分数に同じ数を掛けてすべて整数にする問題では、公約数や公倍数の考え方を正しく使う必要があります。
この記事では、128/35×X、100/21×X、56/15×Xがすべて正の整数になるような最小のXを求める考え方を例にして、なぜ分母に最大公約数、分子に最小公倍数が登場するのかをわかりやすく解説します。
問題の条件を分数の形で整理する
まず、Xを分数としてX=a/bと置きます。すると、それぞれの条件は次のようになります。
128/35×a/b、100/21×a/b、56/15×a/bがすべて整数になる必要があります。
分数が整数になるためには、分母が分子によって割り切れる必要があります。そのため、分母側の数とXの分子、分子側の数とXの分母の関係を考えることになります。
なぜXの分子は最小公倍数になるのか
まず、X=a/bとすると、例えば128/35×Xは次の形になります。
128a/(35b)
この分数を整数にするには、35bが128aの約数になればよいということです。ただし、Xをできるだけ小さくしたいので、aは必要以上に大きくしたくありません。
ここで重要なのは、分母にある35、21、15をすべて打ち消すために、Xの分子aがどのような数であればよいかということです。つまり、35、21、15のすべての倍数になる必要があります。
35、21、15のすべての倍数の中で最も小さいものは最小公倍数です。そのため、Xの分子には35、21、15の最小公倍数を使います。
実際に計算すると、35=5×7、21=3×7、15=3×5なので、最小公倍数は3×5×7=105になります。
なぜXの分母は最大公約数になるのか
次に、Xの分母について考えます。Xの分母bは、128、100、56との関係で決まります。
Xを小さくするためには、分子だけを大きくするのではなく、分母をできるだけ大きくして全体の値を小さくしたいと考えます。
ただし、分母bは128、100、56と共通して割り切れる数でなければいけません。つまり、128、100、56の共通の約数である必要があります。
その中で最も大きいものを選ぶと、X全体を最も小さくできます。そのため、分母には最大公約数を使います。
128、100、56を素因数分解すると、128=2⁷、100=2²×5²、56=2³×7です。共通している素因数は2²だけなので、最大公約数は4になります。
最大公約数と最小公倍数を逆に使うとどうなるか
「分母も最大公約数、分子も最大公約数ではだめなのか」と考える人もいます。しかし、それでは条件を満たせません。
例えば、35、21、15の最大公約数は1です。分子を1にすると、35や21、15を消す力が足りず、分数が整数になりません。
反対に、分子に最小公倍数ではなく最大公約数を使うと、一部の分母しか処理できず、すべての条件を満たせなくなります。
一方で、分母に最小公倍数を使うと、必要以上に分母が小さくなり、結果としてX全体が大きくなってしまいます。最小のXを求めるという目的から外れてしまいます。
実際にXを求めて確認する
ここまでの考え方から、Xの分子は35、21、15の最小公倍数である105、分母は128、100、56の最大公約数である4になります。
したがって、Xは105/4となります。
確認すると、128/35×105/4=128×3/4=96、100/21×105/4=100×5/4=125、56/15×105/4=56×7/4=98となり、すべて正の整数になります。
さらに、これより小さいXではどれか一つの条件を満たせなくなるため、105/4が最小の値になります。
まとめ
この問題で分子に最小公倍数、分母に最大公約数を使う理由は、「すべての条件を満たしながらXを最小にするため」です。
分子は複数の数をすべて処理する必要があるため、全部の倍数になる最小公倍数を使います。一方、分母は共通して使える最大の数を選ぶことで、分数全体を最小にできます。
つまり、分数条件問題では「全部を満たす必要がある部分には最小公倍数」「共通して使える最大の部分には最大公約数」という考え方を覚えると、同じタイプの問題にも応用できます。
コメント