解析力学では、ラグランジアンを見ることで、その系で何が保存されるのかを判断できます。しかし、実際に問題を解く際には「ラグランジアンを見て、どのような手順で保存量を求めればよいのか」が分かりにくいことがあります。この記事では、ラグランジアンから保存量を見つける基本的な考え方、時間・空間・座標の対称性との関係、具体的な計算方法について解説します。
保存量を求める基本的な考え方
ラグランジアンから保存量を探すときの基本的な視点は、「ラグランジアンがどの変化に対して変わらないか」を調べることです。
物理では、ある変換を行っても系の性質が変化しないことを対称性と呼びます。そして、ラグランジアンがある対称性を持つ場合、それに対応する保存量が存在します。
この関係を体系的に説明するものがネーターの定理です。ネーターの定理によれば、連続的な対称性には必ず対応する保存量があります。
まず確認するべき3つの対称性
ラグランジアンを見たとき、最初に確認する代表的な対称性は以下の3つです。
| 対称性 | 保存量 |
|---|---|
| 時間並進対称性 | エネルギー |
| 空間並進対称性 | 運動量 |
| 回転対称性 | 角運動量 |
つまり、ラグランジアンに時間が陽に含まれていなければエネルギーが保存され、位置座標に特定の方向の依存性がなければ運動量が保存されます。
保存量を求める問題では、まず「ラグランジアンが何に依存していて、何に依存していないか」を確認することが重要です。
時間依存性からエネルギー保存を判断する
最も基本的な例はエネルギー保存です。ラグランジアンLが位置q、速度q̇、時間tの関数として、
L=L(q,q̇,t)
と表される場合、時間tが明示的に含まれているかを確認します。
もし、
∂L/∂t=0
ならば、時間並進対称性があり、ハミルトニアンに対応するエネルギーが保存されます。
例えば、ばね振り子や重力中の自由落下など、ポテンシャルが時間によって変化しない系では、ラグランジアンは時間を直接含まないため、力学的エネルギー保存が成立します。
座標の依存性から運動量保存を調べる
次に確認するのが、ラグランジアンが特定の座標に依存しているかどうかです。
例えば、ある座標qがラグランジアンに現れない場合、その座標は循環座標（巡回座標、cyclic coordinate）と呼ばれます。
この場合、オイラー・ラグランジュ方程式から、
∂L/∂q=0
となり、対応する正準運動量
p=∂L/∂q̇
が保存されます。
例えば、宇宙空間で自由に動く粒子では位置による特別な方向性がないため、位置の対称性から運動量保存が導かれます。
具体例：円運動する粒子の角運動量を求める
極座標で表した粒子の運動を考えると、角度φがラグランジアンに含まれない場合があります。
このとき、
∂L/∂φ=0
となるため、φに対応する正準運動量
pφ=∂L/∂φ̇
が保存されます。
この保存量は角運動量に対応します。つまり、「角度方向に何も変化させる要因がない」という回転対称性があるため、角運動量が保存されることになります。
ラグランジアンから保存量を求める実践的な手順
実際の問題では、以下の流れで保存量を探すと整理しやすくなります。
- ラグランジアンLを書く
- Lが時間tを陽に含むか確認する
- Lに現れない座標があるか確認する
- 系に並進対称性や回転対称性があるか考える
- 対応する保存量を正準運動量などから計算する
例えば、ラグランジアンがL(q,q̇)で時間を含まなければエネルギー保存を疑います。また、ある座標qが存在しなければ、その座標に対応する運動量保存を疑います。
単に公式を覚えるのではなく、「ラグランジアンがどの変換に対して不変なのか」を考えることが保存量発見の本質です。
まとめ：ラグランジアンから保存量を求めるには対称性を見る
ラグランジアンから保存量を求めるときは、まずラグランジアンの中にどの変数が含まれているかを確認します。
時間が含まれなければエネルギー、ある座標が含まれなければその座標に対応する運動量、回転に対する対称性があれば角運動量が保存されます。
つまり保存量を見つけるための最も重要なポイントは、「ラグランジアンの形から系の対称性を読み取ること」です。ネーターの定理を意識すると、個別の公式ではなく統一的な考え方で保存則を理解できます。
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