円の方程式と接線の方程式から接点の座標を求める問題では、公式を暗記するだけではなく、なぜその式が作られるのかを理解することが重要です。特に「(9/5-1)(x-1)+(8/5-1)(y-1)=1」という式が突然出てくると、どこから導かれたのか疑問に感じる人も多いでしょう。
この記事では、円の中心と接点の関係、接線の性質を利用して、接点座標がどのように求められるのかを順番に解説します。
円の中心と接点の関係を確認する
与えられた円の方程式は、
(x-1)²+(y-1)²=1
です。
これは中心が(1,1)、半径が1の円を表しています。円の接線は、接点において半径と必ず垂直になります。
つまり、接点を(a,b)とすると、中心(1,1)と接点(a,b)を結ぶ直線は、接線4x+3y-12=0に垂直になります。
接点を(a,b)として考える
まず接点の座標を(a,b)と置きます。
接点は円周上にあるため、円の方程式に代入できます。
(a-1)²+(b-1)²=1
また、接線4x+3y-12=0は、接点(a,b)を通るので、
4a+3b-12=0
という条件も成立します。
この2つの条件から(a,b)を求めることもできますが、参考書では別の考え方を使っています。
接線の法線ベクトルを利用する
接線の方程式4x+3y-12=0を見ると、xとyの係数である(4,3)は、この直線に垂直な方向を示す法線ベクトルになります。
一方、円の中心から接点へ向かう半径も接線に垂直です。
したがって、中心(1,1)から接点へ向かう方向は、法線ベクトル(4,3)と同じ方向になります。
つまり、接点は中心から半径1だけ(4,3)方向へ進んだ位置になります。
接点座標を求める計算
ベクトル(4,3)の長さは、
√(4²+3²)=5
です。
半径は1なので、中心(1,1)から(4,3)方向へ長さ1だけ進むには、ベクトルを5で割ります。
したがって接点は、
(1,1)+1/5(4,3)
となります。
計算すると、
(1+4/5,1+3/5)=(9/5,8/5)
となり、参考書の接点座標が得られます。
参考書の式の意味を理解する
参考書にある、
(9/5-1)(x-1)+(8/5-1)(y-1)=1
という式は、接点(9/5,8/5)を利用した円の接線の公式です。
円の中心が(1,1)、半径が1の場合、点(x₁,y₁)での接線は、
(x₁-1)(x-1)+(y₁-1)(y-1)=1
で表されます。
ここに接点(x₁,y₁)=(9/5,8/5)を代入したものが、参考書に書かれている式です。
この発想を身につけるポイント
この問題で重要なのは、接線と半径は垂直であるという円の基本性質を使うことです。
接線の式から法線ベクトルを読み取り、それを中心から接点へ向かう方向として利用するという流れになります。
例えば、接線が5x+12y-20=0なら、法線方向は(5,12)です。円の中心からこの方向へ半径分だけ進めば接点を求めることができます。
まとめ
円(x-1)²+(y-1)²=1と接線4x+3y-12=0から接点(9/5,8/5)を求める方法は、接線と半径が垂直という性質を利用しています。
接線の係数から法線ベクトル(4,3)を読み取り、その長さである5で割って単位ベクトルにすることで、中心から接点までの方向を求めることができます。
参考書の式は突然現れたものではなく、接点での円の接線の公式から導かれたものです。円と接線の問題では、中心・半径・法線ベクトルの関係を意識すると解法の発想がしやすくなります。
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