条件付き確率の考え方｜赤玉と白玉の箱問題で「1/2」にならない理由を解説

確率の問題では、直感的には正しそうに見える答えが実は間違っていることがあります。特に「ある結果が起きた後で、残りの状態を考える」条件付き確率の問題では、見えている情報によって確率の数え方が変化します。

この記事では、赤玉と白玉が入った3つの箱の問題を例にして、なぜ単純に「赤玉が入った箱は2つだから1/2」と考えてはいけないのか、その理由をわかりやすく解説します。

問題の状況を整理する

まず、3つの箱を次のように名前を付けて整理します。

この3つの箱からランダムに1つを選び、その箱から玉を1つ取り出します。その玉が赤玉だったとき、「残った玉も赤玉である確率」を求める問題です。

ポイントは、「赤玉を引いた」という情報が入った後では、最初の3箱が同じ確率ではなくなるということです。

なぜ単純に1/2ではないのか

「赤玉が入っている箱はAとCの2つだから、そのうちAの確率は1/2」と考える方法では、箱Aと箱Cから赤玉が出る確率の違いを無視しています。

箱Aには赤玉が2個あります。そのため、Aを選んだ場合は必ず赤玉が出ます。

一方、箱Cには赤玉が1個しかないため、Cを選んでも赤玉が出る確率は1/2です。

つまり、「赤玉が出た」という結果は、箱Aから起こる可能性のほうが高く、箱Cから起こる可能性は低くなっています。

実際に場合を書き出して考える

箱を選ぶ確率はそれぞれ1/3です。そこから赤玉を引くパターンを考えます。

赤玉を引く確率全体を考えると、Aから赤玉を引く確率は1/3、Cから赤玉を引く確率は1/6になります。

したがって、赤玉が出たという条件のもとでは、Aである可能性とCである可能性の比は、

1/3：1/6＝2：1

となります。

条件付き確率で計算すると答えが分かる

求めたいのは「赤玉を引いた後、残りも赤玉である確率」です。

残りも赤玉になるのは、箱Aから赤玉を引いた場合だけです。

赤玉を引く全体の確率は、

箱Aから赤玉を引く確率＋箱Cから赤玉を引く確率＝1/3＋1/6＝1/2

です。

そのうち、箱Aから赤玉を引く確率は1/3なので、求める確率は、

(1/3)÷(1/2)＝2/3

となります。

つまり答えは1/2ではなく、2/3です。

間違いやすいポイントは「箱」と「玉」の数え方

この問題でよくある間違いは、「赤玉が出たから赤玉を含む箱は2種類」と考えてしまうことです。

しかし、実際には赤玉を出しやすい箱と出しにくい箱があります。赤赤の箱は赤玉を2回分持っているため、赤玉が出たという情報を得た時点で、赤赤の箱である可能性が高くなります。

例えば、箱Aには赤玉を引くチャンスが2つあり、箱Cには1つしかありません。赤玉が出たという結果を見ると、より多くの赤玉を持っている箱Aが選ばれた可能性が自然に高くなるのです。

条件付き確率を解くときの考え方

条件付き確率では、「新しく得られた情報によって、もともとの確率が変化する」と考えることが重要です。

今回の場合、「どの箱を選んだか」ではなく、「赤玉が出た」という情報を受け取った後の世界を考えています。

そのため、最初の3箱を同じ確率で並べるのではなく、赤玉が出る可能性まで含めて考える必要があります。

まとめ｜赤玉問題は条件付き確率の基本

赤玉と白玉の箱の問題では、単純に「赤玉がある箱は2つだから1/2」と考えると間違えてしまいます。

重要なのは、赤玉が出たという情報によって、箱ごとの可能性が変化している点です。

赤赤の箱は赤玉を引きやすいため、赤玉が出た後ではその箱である確率が高まり、答えは2/3になります。

条件付き確率では、結果を見た後の状況を考えることが大切です。この考え方を身につけると、さまざまな確率問題を正しく解けるようになります。