二次方程式が特定の範囲に解を持つ条件を求める問題では、解の公式で直接xを求めるよりも、二次関数のグラフを利用すると考え方が整理しやすくなります。
今回は、方程式 x²-ax-2a+1=0 が 0＜x＜1 の範囲に少なくとも1つの解を持つためのaの範囲を、グラフを使って分かりやすく解説します。
方程式を二次関数として考える
まず、与えられた方程式を次のような二次関数として考えます。
f(x)=x²-ax-2a+1
方程式 f(x)=0 の解とは、グラフ y=f(x) とx軸との交点のx座標です。つまり、0＜x＜1の範囲に解があるということは、その範囲内でグラフがx軸と交わるという意味になります。
区間0＜x＜1で解を持つ条件を考える
二次関数は上に開く放物線です。そのため、0から1までの区間で少なくとも1回x軸を横切る条件を考えます。
ポイントは、区間の両端での値を調べることです。x=0とx=1を代入してみます。
まず、x=0の場合は、
f(0)=0²-a×0-2a+1=1-2a
次に、x=1の場合は、
f(1)=1-a-2a+1=2-3a
となります。
端点の符号が異なる場合を考える
区間内で連続な二次関数がx軸を横切るためには、端点での値の符号が異なれば必ず解が存在します。
つまり、
f(0)×f(1)＜0
を満たせば、0＜x＜1の範囲に解があります。
代入すると、
(1-2a)(2-3a)＜0
となります。
不等式を解いてaの範囲を求める
(1-2a)(2-3a)＜0 を解きます。
まず、それぞれが0になるaを求めます。
1-2a=0より、a=1/2
2-3a=0より、a=2/3
この2つの値で数直線を区切ります。
a＜1/2のとき、(1-2a)と(2-3a)はどちらも正なので積は正。
1/2＜a＜2/3のとき、一方が正でもう一方が負になるため積は負。
a＞2/3のとき、両方負になるため積は正。
したがって、端点の符号が変わる条件は、
1/2＜a＜2/3
となります。
しかし端点で0になる場合も確認が必要
ここで注意が必要なのは、問題の条件が「0＜x＜1」であり、0や1そのものは解に含まれないという点です。
a=1/2の場合を確認すると、f(0)=0になります。このとき解の1つがx=0になる可能性がありますが、もう1つの解が区間内に存在するか確認する必要があります。
a=1/2を代入すると、
x²-(1/2)x-1+1=0
x²-(1/2)x=0
x(x-1/2)=0
となります。
解はx=0、x=1/2なので、x=1/2は0＜x＜1を満たします。よってa=1/2も含まれます。
a=2/3の場合を確認する
次にa=2/3を調べます。
この場合、
f(1)=0
となり、x=1が解になります。
しかし条件は0＜x＜1なので、x=1は含まれません。もう1つの解が範囲内にあるか確認します。
a=2/3を代入すると、
x²-(2/3)x-4/3+1=0
x²-(2/3)x-1/3=0
両辺を3倍すると、
3x²-2x-1=0
(3x+1)(x-1)=0
となります。
解はx=-1/3、x=1であり、0＜x＜1の解はありません。したがってa=2/3は含みません。
グラフの頂点条件も確認する
ただし、二次関数の場合は端点の符号だけでは不十分な場合があります。放物線が区間内で接する場合もあるためです。
頂点の位置も確認します。頂点のx座標は、
x=a/2
です。
この頂点が0＜x＜1にあり、最小値が0以下なら接する場合も含めて解が存在します。
計算すると、追加される条件は、
a≦-4+2√5
となります。
この条件と先ほどの範囲を合わせることで、
-4+2√5≦a＜2/3
が得られます。
まとめ｜二次方程式の範囲問題はグラフで考える
二次方程式が特定の範囲に解を持つ問題では、解の公式で直接処理するよりも、二次関数のグラフとして考えることが重要です。
今回の問題では、端点の符号変化だけでなく、放物線が区間内でx軸に接する場合も考慮することで、正しい範囲
-4+2√5≦a＜2/3
を求めることができます。
「少なくとも1つの解を持つ」という条件が出た場合は、交点・符号・接する場合の3つを意識すると、同じタイプの問題にも対応しやすくなります。
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