命題「a=5ならa+b+c=0を満たすbが存在する」は真か？存在命題の考え方を解説

数学の命題では、「ある数が存在する」という表現が出てきたとき、その意味を正しく理解することが重要です。特に文字が複数登場する問題では、すべての文字が一意に決まる必要があるのか、それとも条件を満たす組み合わせが1つでもあればよいのかを区別する必要があります。

この記事では、「a=5⇒a,b,cは実数、かつ、a+b+c=0を満たすbが存在する」というような命題について、存在するとはどういう意味なのか、なぜ成り立つのかを具体的に解説します。

「bが存在する」とは何を意味するのか

数学で「あるbが存在する」という表現は、「bの値が1つに決まっている」という意味ではありません。

条件を満たすbが少なくとも1つ見つかれば、「bは存在する」と言えます。つまり、cが自由に変化しても、その都度条件を満たすbを選べるなら存在が認められます。

例えば、「x+y=10を満たすxが存在する」という場合、yが決まっていなくても問題ありません。y=3ならx=7、y=5ならx=5というように、条件を満たすxが見つかれば存在すると言えます。

与えられた命題を式で整理する

問題の条件を整理すると、a=5であり、a+b+c=0を満たす実数bが存在する、という内容です。

a=5を代入すると、式は次のようになります。

5+b+c=0

この式をbについて解くと、

b=-5-c

となります。

ここで重要なのは、cが決まればbを決められるということです。cは任意の実数でよいため、例えばc=0ならb=-5となり、条件を満たすbが存在します。

cが決まらないから間違いではない理由

「aが決まってもcが決まらないから、bも動いてしまうのではないか」と感じるのは自然な疑問です。

しかし、この命題では「bの値を一つに決めなさい」と言っているわけではありません。「条件を満たすbが存在するか」を聞いています。

例えば、c=1の場合はb=-6、c=10の場合はb=-15になります。どちらの場合でも実数bが存在するため、命題の条件は満たされています。

存在命題と全称命題の違い

数学では、「存在する」と「すべての場合に成り立つ」は大きく意味が異なります。

今回の場合は「存在する」という条件なので、たった1組でも条件を満たす値があれば十分です。

もし「任意の実数cに対して、同じbが存在する」という条件なら話は変わります。しかし、今回の命題ではそこまで求めていません。

具体例で考えると理解しやすい

例えば、友達に「10円玉を持っている人はいる？」と聞いた場合、全員が10円玉を持っている必要はありません。1人でも持っている人がいれば、「存在する」と答えられます。

数学の「存在する」も同じ考え方です。条件を満たすものが1つでもあれば、その存在は証明できます。

今回の問題では、c=0とすればb=-5という具体的な例が作れるため、条件を満たすbが存在すると判断できます。

まとめ｜文字が自由に動いても存在は証明できる

「a=5なら、a+b+c=0を満たすbが存在する」という命題は真です。

理由は、a=5を代入するとb=-5-cとなり、cに合わせて条件を満たす実数bを必ず作ることができるからです。

数学では、「文字の値が決まらないこと」と「条件を満たすものが存在しないこと」は別の問題です。存在命題では、値が一意に決まる必要はなく、条件を満たす例が1つでも作れるかどうかを見ることが大切です。