sin75°やcos15°は答案でそのまま書いていい？三角比の値の扱い方と加法定理の使い分け

sin75°やcos15°のような特殊な角の三角比は、数学の問題でよく登場します。計算途中で加法定理を使って導くこともありますが、すでに知られている値をそのまま使ってよいのか迷う人も少なくありません。

この記事では、sin75°やcos15°などの値を答案でどのように扱えばよいのか、加法定理を書く必要がある場合と省略できる場合の違い、数学の記述答案で評価されるポイントについて解説します。

sin75°やcos15°の値はそのまま書いてもよいのか

結論から言うと、問題の状況によってはsin75°＝(√6＋√2)/4のように、結果をそのまま書いても問題ありません。

例えば、問題文や教科書、参考書などで特殊角の三角比としてすでに扱われている場合や、途中計算でその値を利用するだけの場合は、毎回加法定理による導出を書く必要はありません。

数学の答案では、すべての公式を毎回証明することは求められていません。一般的に認められている公式や既知の値を使うことは、通常の解法として扱われます。

一方で、問題が「sin75°の値を求めよ」のように、特殊角の値そのものを求めることを目的としている場合は、導き方を書く必要があります。

例えば、sin75°を求める場合は、75°を45°＋30°と考えて、加法定理を利用します。

sin75°＝sin(45°＋30°)
＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°
＝(√2/2)(√3/2)＋(√2/2)(1/2)
＝(√6＋√2)/4

このように途中式を書くことで、「なぜその値になるのか」という根拠を示すことができます。

数学の記述問題では、答えだけでなく、その答えに至る過程が重要になる場合があります。

例えば、証明問題や途中式を求める問題では、突然sin75°＝(√6＋√2)/4と書くと、採点者から見ると根拠が分からないため減点される可能性があります。

しかし、三角関数の計算問題で「sin75°を使って次の式を簡単にせよ」のような問題なら、既知の値として使用して問題ない場合が多いです。

数学では、30°、45°、60°だけでなく、15°や75°なども頻繁に登場します。これらは毎回導くよりも、導出方法を理解したうえで覚えておくと計算時間を短縮できます。

特に入試問題では、これらの値を覚えていることで計算を大幅に短縮できる場面があります。

ただし、暗記だけに頼るのではなく、加法定理を使えばいつでも導ける状態にしておくことが大切です。

答案でどこまで書くべきか迷った場合は、「その値を使うことが問題の前提なのか、それとも求める対象なのか」を考えると判断しやすくなります。

例えば、最終的な答えを求める途中でsin75°を利用するだけなら、その値を書いて進めても問題ありません。一方、sin75°の値を求める問題なら、加法定理などの根拠を書く方が安全です。

また、学校の先生や試験ごとの採点基準によって細かな扱いが異なることもあるため、記述式の試験では普段から途中式を書く習慣をつけておくと安心です。

sin75°＝(√6＋√2)/4のような特殊角の値は、常に加法定理を書かなければならないわけではありません。既知の値として利用できる場面では、そのまま使って問題ありません。

ただし、その値を求める問題や記述過程が評価される問題では、加法定理などを使って導く必要があります。

大切なのは、特殊角の値を丸暗記するだけではなく、「必要なら自分で導ける」という状態にしておくことです。そうすれば答案作成でも迷わず、計算時間も短縮できます。