時計の長針と短針が垂直になる時刻を求める問題は、針の動く速さの違いに注目すると解くことができます。特に11時から12時の間では、短針も少しずつ進んでいるため、単純に11時30分と考えることはできません。
この記事では、時計の針の角度を使って、11時から12時の間に長針と短針が90度になる時刻を順番に求める方法をわかりやすく解説します。
時計の針が動く速さを確認する
まず、時計の長針と短針の動く速さを整理します。長針は1時間で360度進むため、1分間では6度進みます。
一方、短針は12時間で360度進むため、1時間では30度、1分間では0.5度進みます。
つまり、長針は短針よりも1分間に5.5度ずつ速く進んでいます。この差を利用すると、2本の針の位置関係を求めることができます。
11時から12時までの針の角度を表す
11時ちょうどの時、短針は11の位置にあります。時計の文字盤では1時間ごとに30度なので、短針の角度は330度です。
11時から12時までの経過時間をx分とします。
このとき、長針の角度は6x度、短針の角度は330+0.5x度になります。
したがって、2つの針の角度の差は次の式で表せます。
6x-(330+0.5x)=5.5x-330
垂直になる条件を考える
時計の針が垂直になるということは、2本の針の角度の差が90度、または270度になるということです。
まず、角度差が90度になる場合を考えます。
5.5x-330=90
この式を解くと、
5.5x=420
x=420÷5.5
x=840/11
したがって、最初の時刻は11時から840/11分後です。
840/11分は約76.36分ですが、11時から12時の範囲を超えているため、この条件では該当しません。
もう一つの角度差270度を考える
次に、時計の針の差が270度になる場合を考えます。
5.5x-330=270
これを解くと、
5.5x=600
x=600÷5.5
x=1200/11
こちらも約109.09分となり、11時から12時の間には入りません。
しかし、角度差は時計回りの差だけではなく、反対方向から見た90度も考える必要があります。そのため、11時から12時では次の条件を使います。
330+0.5x-6x=90
つまり、
330-5.5x=90
5.5x=240
x=240÷5.5
x=480/11
よって、11時から480/11分後が1つ目の答えになります。
11時台に垂直になる2つの時刻
次に、もう一つの垂直になる位置を考えます。反対側の90度、つまり角度差が270度になる場合を考えると、
330-5.5x=270
となります。
これを解くと、
5.5x=60
x=60÷5.5
x=120/11
したがって、2つ目の時刻は11時から120/11分後です。
分数を時刻に直すと、
| 経過時間 | 時刻 |
|---|---|
| 120/11分 | 約11時10分54秒 |
| 480/11分 | 約11時43分38秒 |
この2つが、11時から12時の間に長針と短針が垂直になる時刻です。
なぜ2回起こるのか
時計の針は一定の速さで動いていますが、長針が短針を追い越していくため、1時間の間にも何度か90度の位置関係になります。
11時台では、長針が短針に近づいていく途中で一度垂直になり、その後追い越した後にも再び垂直になります。
そのため、答えは1つではなく2つ存在します。
まとめ：11時から12時の垂直になる時刻は2回ある
時計の問題では、長針と短針の進む速さの差を利用することが重要です。11時から12時では、短針が少しずつ進むことを考慮して計算します。
求める時刻は、11時10分54秒頃と11時43分38秒頃の2回です。
単純に長針だけを見るのではなく、短針も動いていることを意識すると、時計の角度問題は正確に解くことができます。
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