2-2log₂が1より小さいことを証明する方法｜対数の性質を使った解き方を解説

対数を含む不等式では、数値を直接計算するよりも、対数の性質や底の条件を利用すると簡単に証明できる場合があります。

今回は「2-2log₂が1より小さいこと」をどのように示すのかについて、考え方を順番に解説します。なお、0より大きいことはすでに証明されているため、ここでは1未満であることに注目します。

まず不等式の形を整理する

証明したい不等式は次の形です。

2-2log₂＜1

ここでlog₂は「2を底とする対数」を表しています。まずは式を整理して、対数だけを含む形に変形します。

両辺から2を引くと、

-2log₂＜-1

となります。

次に、両辺を-2で割ります。ただし、負の数で割る場合は不等号の向きが逆になることに注意が必要です。

log₂＞1/2

つまり、もとの不等式を証明することは、「log₂が1/2より大きいこと」を示すことと同じになります。

log₂は底が2の対数なので、次のように考えます。

log₂x＞1/2という関係を確認するためには、指数の形に直すと分かりやすくなります。

対数の定義より、

log₂x＝a ⇔ 2ᵃ＝x

です。

今回の式では、log₂の中身が問題になります。例えば、もし式が「2-2log₂2」の意味であれば、log₂2＝1なので、

2-2×1=0

となり、1より小さいことがすぐに分かります。

対数の基本として、

logₐa＝1

という性質があります。

これは「aを何乗すればaになるか」を表しているため、指数が1になることから分かります。

したがって、log₂2も1になります。

そのため、

2-2log₂2

は、

2-2×1=0

となり、

0＜1

なので、1より小さいことが確認できます。

対数の問題では、式の書き方によって答えが変わるため、まずどの部分が対数の中身なのかを正確に読むことが重要です。

例えば、「2-2log₂」とだけ書かれている場合は、通常は後ろに続く数が必要になります。log₂だけでは対数として値が決まらないため、問題文の前後を確認する必要があります。

数学の証明では、式を正しく読み取ることも重要な作業の一つです。

「2-2log₂が1より小さい」ことを証明するには、まず不等式を整理し、対数の値を求めることが基本になります。

特にlog₂2のような基本的な対数は、logₐa＝1という性質を利用すると簡単に処理できます。

また、対数を含む不等式では、負の数で割ったときに不等号が逆になる点や、式の読み取り間違いに注意することが大切です。