連続するn個の整数の積はn!の倍数になる？証明と入試数学で使える考え方を解説

数学の問題では、「連続するn個の整数の積はn!の倍数になる」という性質が使われることがあります。この性質を証明なしで利用してよいのか、またなぜ成り立つのか疑問に感じる人も多いでしょう。

この記事では、この整数の性質がなぜ成立するのかを分かりやすく説明し、数学の証明問題や入試問題でどのように扱えばよいのかを解説します。

連続するn個の整数の積がn!の倍数になる性質とは

「連続するn個の整数」とは、例えば5個なら「3、4、5、6、7」のように隣り合った整数の集まりを意味します。

このとき、それらの積は必ず5!（120）の倍数になります。一般的には、連続するn個の整数の積はn!で割り切れるという性質があります。

式で表すと、整数aを使って次のように書けます。

a(a+1)(a+2)…(a+n-1)

この積は必ずn!の倍数になります。

この性質が成り立つ理由は、連続する整数の中には、n!を作るために必要な因数が必ず含まれるからです。

例えばn=5の場合、5!は1×2×3×4×5です。つまり、2、3、4、5という因数を集める必要があります。

連続する5個の整数の中では、必ず2の倍数、3の倍数、4の倍数、5の倍数に当たる数が存在します。そのため、積全体には5!を作るための因数が含まれます。

この性質は、二項係数を使うとより美しく説明できます。

連続するn個の整数の積は、次のように変形できます。

a(a+1)(a+2)…(a+n-1)=n!×(a+n-1)C(n)

ここで、(a+n-1)C(n)は組み合わせの数を表します。組み合わせは整数なので、右辺には必ずn!が含まれています。

つまり、連続するn個の整数の積は「n!×整数」という形になるため、n!の倍数になります。

この性質を証明なしで使ってよいかどうかは、問題の状況によって変わります。

学校の授業や入試問題では、教科書や授業で既に証明された定理・公式として扱われている場合、証明を書かずに利用して問題ありません。

例えば、「連続するn個の整数の積はn!の倍数であることを利用せよ」といった前提がある場合は、そのまま使うことができます。

一方で、数学の記述問題や証明問題では、途中の理由を求められる場合があります。その場合は、性質を知っているだけでは不十分です。

例えば、「なぜこの積がn!で割り切れるのか説明せよ」という問題では、組み合わせを使った説明や因数の存在を示す必要があります。

また、大学入試の答案では、採点者が途中の考え方を確認できるように、重要な性質を使う場合は一言理由を書くと安全です。

連続するn個の整数の積がn!の倍数になることは、数学的に正しい重要な性質です。学校数学の範囲では、定理として認められている場合は証明なしで使うことができます。

ただし、証明問題や理由説明を求められる場面では、なぜ成り立つのかを示す必要があります。組み合わせや因数の考え方を理解しておくと、この性質を安心して利用できます。

単なる暗記ではなく、「連続した整数には必要な因数が必ず含まれる」という仕組みまで理解しておくと、応用問題にも対応できるようになります。