三角関数を含む連立方程式では、tan xやtan yそのものを直接求めようとすると複雑になることがあります。しかし、式の形に注目すると、和や積の関係を利用して簡単に解くことができます。
この記事では、0<x<π、0<y<πの範囲で与えられたtanを含む連立方程式について、置換を使った整理方法から解の求め方までを詳しく解説します。
tan xとtan yを別の文字に置き換える
まず、tan xとtan yをそれぞれ別の文字で置き換えます。
tan x=a、tan y=bとおくと、与えられた連立方程式は次のようになります。
a+b=2π
また、2つ目の式は、
1/a+1/b=2/π
となります。ここで、逆数の和は分数をまとめることで積との関係を作ることができます。
逆数の式から積を求める
1/a+1/bを通分すると、
(a+b)/ab=2/π
となります。
すでにa+b=2πが分かっているので、代入すると、
2π/ab=2/π
両辺を整理すると、
ab=π²
となります。
つまり、aとbは「和」と「積」が決まった2つの数であることが分かります。
tan xとtan yの値を求める
aとbは、和が2π、積がπ²なので、2次方程式の解として考えます。
求める2つの数をtとすると、
t²-(a+b)t+ab=0
より、
t²-2πt+π²=0
となります。
この式は、
(t-π)²=0
と因数分解できます。
したがって、
t=π
となります。
つまり、
a=b=π
なので、
tan x=tan y=π
が得られます。
tanの値からxとyの範囲を考える
次に、tan x=π、tan y=πを満たすxとyを求めます。
tan θ=πとなる角度は、一般的には、
θ=arctan(π)+nπ
と表されます。
しかし、今回の条件は0<x<π、0<y<πです。
この範囲では、tanは第1象限で正、第3象限の角度は範囲外となります。そのため、該当する角度は、
x=arctan(π)
y=arctan(π)
だけになります。
解の確認と連立方程式のポイント
得られた解を元の式に代入して確認します。
tan x+tan y=π+π=2π
となり、1つ目の式を満たします。
また、
1/tan x+1/tan y=1/π+1/π=2/π
となるため、2つ目の式も満たします。
したがって、条件を満たす実数の組は、
(x,y)=(arctan(π),arctan(π))
となります。
まとめ
tan xやtan yを含む連立方程式では、まずtan xとtan yを別の文字に置き換えることで、三角関数ではなく通常の代数問題として考えることができます。
今回の問題では、和と逆数の式から積を求め、2次方程式を利用することでtan xとtan yがどちらもπであることが分かりました。
最後にx、yの範囲条件を確認することで、余分な解を除き、正しい組を求めることができます。
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