円と接線の長さから中心までの距離を求める方法｜接点と半径を使った図形問題の解き方

円と直線が接する図形問題では、接点までの長さや半径を利用して、円の中心までの距離を求める問題がよく出題されます。今回は、線分ABとBCに接する半径2cmの円があり、接点までの距離からBと円の中心の距離を求める考え方を解説します。

円の中心と接点を結ぶと直角になる

円と直線が1点だけで接している場合、その接点と円の中心を結んだ線は、必ず接線に対して垂直になります。

今回、線分AB上の接点をPとすると、円の中心をOとした場合、OPは半径なので長さは2cmです。そして、OPとABは垂直になります。

つまり、三角形BOPは直角三角形になります。この形を作ることが、この問題を解くための基本的なポイントです。

問題では、BPの長さが6cmとされています。また、半径であるOPは2cmです。

したがって、三角形BOPでは、直角をはさむ2辺がBP=6cm、OP=2cmになります。求めたいのはBから円の中心Oまでの距離なので、BOが斜辺になります。

このように、円の中心・接点・外部の点を結ぶと、直角三角形として考えられる場合が多くあります。

直角三角形では、三平方の定理が利用できます。

三平方の定理は、直角をはさむ2辺をa、b、斜辺をcとすると、
a²+b²=c²
という関係になります。

今回の場合、BP=6cm、OP=2cm、BOを求めるので、

6²+2²=BO²

となります。

計算すると、36+4=40なので、

BO²=40
BO=√40=2√10

したがって、Bから円の中心までの距離は2√10cmになります。

このような問題では、直接的な公式を覚えるよりも、「接点と中心を結ぶと直角三角形になる」という性質を覚えることが重要です。

円の外側にある点Bから接線を引いた場合、接点Pまでの距離と半径を使って、中心までの距離を求めることができます。

一般的には、接点までの距離をa、半径をr、中心までの距離をdとすると、

d²=a²+r²

となります。

今回なら、a=6、r=2なので、d=√(6²+2²)=2√10となります。

問題文には線分BCについても書かれていますが、今回求めるBと円の中心の距離には、線分AB側の接点Pの情報だけで十分です。

円はどちらの線分にも接しているため、BC側にも同じように接点があります。しかし、Bから中心Oまでの距離を求めるためには、Bから円までの距離と半径が分かれば計算できます。

図形問題では、すべての条件を使う必要があるとは限りません。必要な情報を見抜く力も大切になります。

円が直線に接している場合、接点と円の中心を結ぶ線は必ず垂直になります。そのため、接点・中心・外部の点を結ぶことで直角三角形を作ることができます。

今回の問題では、BP=6cm、半径OP=2cmなので、三平方の定理よりBO=2√10cmと求められます。

円と接線の問題では、「半径は接線に垂直」という性質を利用することが解法の第一歩になります。